La legge di Ohm dalla struttura della materia: il modello di Drude

Questa pagina approfondisce la lezione sulla corrente elettrica: ricava la legge di Ohm partendo dalle proprietà microscopiche della materia, cioè dagli elettroni liberi di un metallo che urtano il reticolo cristallino. È il modello di Drude (1900). Da un’idea semplice si ottengono la conducibilità in funzione di grandezze atomiche, il valore numerico del tempo tra due urti nel rame, l’effetto Joule visto come energia ceduta al reticolo, la dipendenza dalla temperatura, il calcolo della resistenza di conduttori di forma qualunque, i limiti di validità della legge e l’effetto Hall, che permette di misurare il numero e il segno dei portatori.

La densità di corrente dai portatori

Teorema. Se in un conduttore ci sono portatori per unità di volume, ciascuno con carica e velocità media (di deriva) , la densità di corrente è

Dimostrazione. Si consideri una sezione di area perpendicolare a . In un tempo la attraversano tutti i portatori che si trovano entro la distanza a monte, cioè quelli contenuti nel cilindro di volume . Sono , e portano la carica . La corrente è , e la densità . ∎

Per gli elettroni : è opposta a , ma il prodotto ha il verso della corrente convenzionale.

Il modello di Drude

Le ipotesi sono quattro, tutte semplici:

1. nel metallo una parte degli elettroni (uno o due per atomo) è libera di muoversi, come un gas, tra gli ioni fissi del reticolo;
2. tra un urto e l’altro un elettrone si muove sotto l’azione delle sole forze esterne, qui ;
3. gli urti sono istantanei, e dopo ogni urto la velocità ha direzione casuale: in media, subito dopo un urto, la velocità è zero;
4. la probabilità di un urto in un intervallo è , indipendente dalla storia dell’elettrone. si chiama tempo di rilassamento o tempo medio tra gli urti.

Teorema. Nel modello di Drude la velocità di deriva e la conducibilità valgono

Dimostrazione. Si guarda un elettrone in un certo istante. Dall’ultimo urto è passato un tempo , e in quel tempo il campo lo ha accelerato con . La sua velocità è quindi , dove è la velocità subito dopo l’urto.

Si fa la media su tutti gli elettroni. Per l’ipotesi 3, la media di è zero. Per l’ipotesi 4, il tempo trascorso dall’ultimo urto ha distribuzione esponenziale con media (la probabilità che nessun urto sia avvenuto negli ultimi secondi è ). Quindi

Sostituendo in : . ∎

Un altro modo di vederlo. In media, la forza del campo e l’effetto degli urti si bilanciano: gli urti si comportano come un attrito viscoso, che ogni secondo distrugge una frazione della quantità di moto ordinata. L’equazione del moto medio è

A regime e si ritrova lo stesso risultato. Il transitorio dura qualche , cioè circa s: per ogni scopo pratico la corrente segue il campo istantaneamente.

La legge di Ohm è quindi la conseguenza di un fatto: gli urti fanno “dimenticare” all’elettrone la velocità acquistata, e la velocità media resta proporzionale al campo invece di crescere senza limite. In un conduttore senza urti () la corrente crescerebbe indefinitamente sotto un campo costante: è quello che succede nel vuoto di un tubo catodico, non in un filo.

I numeri del rame

Dalla resistività misurata si ricava il tempo tra gli urti. Per il rame Ω·m e m (un elettrone libero per atomo):

Tre confronti fanno capire le scale.

Deriva contro agitazione. In un filo da 1 mm² con 1 A il campo è V/m e la velocità di deriva m/s, lo stesso valore della lezione ricavato da . Gli elettroni invece si agitano a velocità dell’ordine di m/s: la deriva è una minuscola correzione a un moto disordinato velocissimo.

Il libero cammino medio. Con la velocità di agitazione “classica” m/s a 300 K, la distanza tra due urti sarebbe nm, una decina di distanze interatomiche: coerente con l’idea di Drude di elettroni che urtano gli ioni. Ma la meccanica quantistica dice che gli elettroni di conduzione si muovono alla velocità di Fermi, m/s nel rame, e allora nm, circa 150 distanze interatomiche.

Il ruolo degli ioni. Un elettrone percorre quindi centinaia di atomi senza urtare: un reticolo perfettamente regolare non diffonde gli elettroni (è un risultato della meccanica quantistica, legato alla natura ondulatoria dell’elettrone). Gli urti avvengono contro le imperfezioni del reticolo: le vibrazioni termiche degli ioni (fononi), le impurezze, i difetti, i bordi dei grani. Il modello di Drude ha l’immagine sbagliata degli urti ma la struttura giusta della formula: con la massa efficace e il tempo di rilassamento giusti, resta valida anche nella teoria quantistica.

L’effetto Joule visto dal reticolo

Teorema. In un conduttore ohmico la potenza dissipata per unità di volume è

e integrata su un filo dà .

Dimostrazione. Su ogni portatore il campo compie lavoro con potenza . In media, per unità di volume, . A regime l’energia cinetica media degli elettroni non cresce: tutta questa energia viene ceduta al reticolo negli urti, e diventa agitazione termica degli ioni, cioè calore. In un filo di sezione e lunghezza con campo uniforme, . ∎

La resistenza di un conduttore di forma qualunque

Dalla legge locale si ricava la resistenza di un oggetto integrando. Per un filo uniforme, e danno . Se la sezione cambia lungo il percorso della corrente, si divide il conduttore in fette di spessore in serie, ciascuna con resistenza :

Esempio: la perdita dell’isolante di un cavo coassiale. Tra il conduttore interno (raggio ) e la calza (raggio ) c’è un isolante di resistività molto grande, lungo . La corrente di perdita va radialmente, attraverso gusci cilindrici di raggio , spessore e area , tutti in serie:

La resistenza diminuisce con la lunghezza, al contrario di un filo: un cavo più lungo ha più superficie attraverso cui perdere corrente. Con Ω·m (polietilene), e m: Ω.

La dipendenza dalla temperatura

Nei metalli non dipende dalla temperatura; cambia . Gli urti con le vibrazioni del reticolo sono tanto più frequenti quanto più gli ioni vibrano, e l’ampiezza quadratica delle vibrazioni è proporzionale a (sopra qualche decina di kelvin). Quindi e la resistività cresce linearmente. Gli urti con le impurezze, invece, non dipendono da . Le due cause si sommano (regola di Matthiessen):

dove è la resistività residua a temperatura molto bassa, che misura la purezza del metallo. Per il rame K.

Nei semiconduttori la storia è opposta: il numero di portatori cresce in modo esponenziale con la temperatura, , perché l’agitazione termica libera elettroni dai legami. L’aumento di prevale sulla diminuzione di , e la resistività diminuisce rapidamente al crescere di . È la ragione dei termistori NTC.

Quando la legge di Ohm non vale

La proporzionalità tra ed richiede che e non dipendano dal campo e che il campo vari lentamente rispetto a . Fuori da queste condizioni:

• campi intensi nei semiconduttori: la velocità di deriva satura (circa m/s nel silicio), perché gli elettroni cedono energia al reticolo tanto in fretta quanto la ricevono;
• alte frequenze: con un campo alternato di pulsazione , la stessa equazione del moto medio dà (con la convenzione dei fasori dell’elettrotecnica). Per i metalli fino a circa Hz: la legge di Ohm in continua vale per tutta l’elettronica, ma non per la luce: alle frequenze ottiche il modello degli elettroni liberi, esteso, spiega perché i metalli riflettono il visibile;
• dispositivi non lineari: diodi, transistor, scariche nei gas, dove dipende dalla tensione applicata;
• conduttori più corti del libero cammino medio: nei nanofili gli elettroni passano senza urti (conduzione balistica) e la conduttanza è quantizzata: ogni canale di conduzione contribuisce µS, e un conduttore con un solo canale ha una resistenza di circa 12,9 kΩ pur senza alcun urto;
• superconduttori: sotto la temperatura critica la resistenza è esattamente zero.

L’effetto Hall: contare i portatori

In una lamina percorsa da corrente e immersa in un campo magnetico perpendicolare, la forza di Lorentz spinge i portatori verso un bordo. Lì si accumula carica finché il campo elettrico trasversale che si forma non bilancia la forza magnetica: .

Teorema. In una lamina di spessore (nella direzione di ), la tensione di Hall vale

e il suo segno dipende dal segno dei portatori.

Dimostrazione. Con larghezza , . Dalla corrente, , quindi . Sostituendo, . Se i portatori sono negativi, a parità di verso della corrente si muovono in verso opposto, ma anche la loro carica è opposta: la forza di Lorentz li spinge sullo stesso bordo dei positivi, e la tensione cambia segno. ∎

Esempio. Una lamina di rame spessa 0,1 mm con 1 A in un campo di 1 T: µV. Nei semiconduttori è un milione di volte più piccolo e diventa di decine di millivolt: è il principio dei sensori di Hall, usati per misurare campi magnetici e correnti senza contatto.

Storicamente l’effetto Hall ha mostrato che in alcuni metalli, come lo zinco, i portatori si comportano come cariche positive (le lacune): un fatto inspiegabile per il modello di Drude e una delle prove della teoria quantistica dei solidi.

Gli esercizi su resistenza, circuiti in continua e circuito RC sono nella pagina degli esercizi collegata in cima.