Sorgenti del campo magnetico: Biot-Savart, legge di Ampère e solenoide

Nella lezione precedente il campo magnetico era dato. Qui ci chiediamo da dove viene: le sorgenti del campo magnetico sono le correnti. Vediamo la legge di Biot-Savart, il campo di un filo e di una spira, la forza tra due fili, la legge di Ampère e il solenoide, fino all’induttanza che useremo nella lezione sull’induzione.

La legge di Biot-Savart

Un tratto di filo percorso dalla corrente produce, nel punto a distanza , il campo

dove T·m/A è la permeabilità magnetica del vuoto (dal 2019 il valore è misurato, non più fissato, ma resta uguale entro una parte su un miliardo). È l’analogo della legge di Coulomb, con due differenze: la sorgente è un elemento di corrente, non una carica, e il campo è perpendicolare sia a sia a .

Il campo di un filo rettilineo

Integrando Biot-Savart su un filo infinito (o, più rapidamente, con la legge di Ampère qui sotto):

A 1 cm da un filo con 10 A il campo vale mT, quattro volte il campo terrestre: abbastanza per deviare una bussola, come vide Ørsted.

Al centro di una spira circolare di raggio : ogni elemento è perpendicolare al raggio e dà un contributo diretto lungo l’asse, quindi .

La forza tra due fili e la definizione di ampere

Due fili paralleli a distanza , con correnti e : il filo 1 crea nel punto del filo 2 il campo , e il filo 2 subisce la forza . La forza per unità di lunghezza è

attrattiva se le correnti sono concordi, repulsiva se opposte. Con 1 A in ciascun filo a 1 m di distanza la forza vale N/m: era la vecchia definizione dell’ampere. Nei cortocircuiti queste forze diventano enormi: con decine di migliaia di ampere le sbarre dei quadri elettrici devono essere fissate per resistere a forze di tonnellate.

La legge di Ampère

La circuitazione del campo magnetico lungo una linea chiusa è uguale a per la corrente concatenata:

Si verifica subito sul filo: lungo una circonferenza di raggio , è costante e tangente, quindi . È il ruolo che la legge di Gauss ha per il campo elettrico: vale sempre (per correnti stazionarie), ma serve a calcolare il campo solo in presenza di simmetria. È anche il controesempio di Analisi 2: il campo del filo è irrotazionale fuori dal filo, ma non conservativo, perché c’è un “buco” dove passa la corrente. In forma locale: .

Il solenoide

Un solenoide è un filo avvolto a elica con spire per unità di lunghezza. Dentro, i campi delle spire si sommano e il campo è quasi uniforme e parallelo all’asse; fuori quasi si annulla.

Dimostrazione

Si applica la legge di Ampère al rettangolo della figura, con un lato di lunghezza dentro il solenoide e uno fuori. Fuori , sui lati perpendicolari all’asse : resta solo il lato interno, . La corrente concatenata è quella delle spire attraversate, . Quindi

indipendente dalla posizione dentro il solenoide. Con 1000 spire per metro e 1 A, mT. Con un nucleo di ferro, che ha permeabilità relativa di migliaia, il campo cresce di altrettanto: è l’elettromagnete di relè, elettrovalvole e serrature elettriche.

L’induttanza

Il flusso del campo magnetico concatenato con un circuito è proporzionale alla sua corrente. La costante di proporzionalità è l’induttanza:

Per un solenoide di spire, lunghezza e sezione : il flusso in una spira è , quello concatenato con tutte le spire è , quindi

L’induttanza cresce con il quadrato del numero di spire. Come il condensatore immagazzina energia nel campo elettrico, l’induttore la immagazzina nel campo magnetico, con energia e densità . Nella prossima lezione vedremo che cosa succede quando la corrente cambia: è lì che l’induttanza diventa protagonista.