Ottica: riflessione, rifrazione, interferenza e diffrazione
Indice di rifrazione, legge di Snell dimostrata con il principio di Fermat, riflessione totale e fibre ottiche, lenti, esperimento di Young, reticoli e limite di diffrazione.
La luce è un’onda elettromagnetica con lunghezza d’onda tra 380 e 780 nm. Quando gli oggetti sono molto più grandi della lunghezza d’onda, la luce si può descrivere con raggi rettilinei (ottica geometrica); quando le dimensioni sono confrontabili, emergono gli effetti ondulatori, interferenza e diffrazione (ottica ondulatoria). In questa lezione vediamo riflessione e rifrazione, la riflessione totale e le fibre ottiche, le lenti, l’interferenza di Young e la diffrazione.
Indice di rifrazione
Nei materiali trasparenti la luce viaggia più piano che nel vuoto. L’indice di rifrazione è il rapporto
![\[ n = \frac{c}{v} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c46ca0f92ddd25fa7b7b076bfd5343b8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Vale circa 1,0003 per l’aria, 1,33 per l’acqua, 1,5 per il vetro, 1,46 per la silice delle fibre ottiche, 2,42 per il diamante. Passando da un mezzo all’altro la frequenza resta la stessa, mentre la lunghezza d’onda si riduce a 
.
Riflessione e rifrazione
Quando la luce incontra la superficie tra due mezzi, una parte si riflette e una parte passa, cambiando direzione.
- Riflessione: l’angolo di riflessione è uguale a quello di incidenza, misurati dalla normale alla superficie.
- Rifrazione (legge di Snell):
![\[ n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4eb867bf3e967592a54de1abdea55cff_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione con il principio di Fermat
La luce va da un punto A nel mezzo 1 a un punto B nel mezzo 2 lungo il percorso che richiede il tempo minimo. Sia A a quota 
sopra la superficie, B a profondità 
sotto, a distanza orizzontale 
, e sia 
il punto in cui il raggio attraversa la superficie. Il tempo è
![\[ t(x) = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-93bee5fe0642989b353a435173c8830f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Imponendo 
:
![\[ \frac{x}{v_1\sqrt{a^2 + x^2}} = \frac{d - x}{v_2\sqrt{b^2 + (d - x)^2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{\sin\theta_1}{v_1} = \frac{\sin\theta_2}{v_2} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7f896e0db0b95ace96db0a6b875c3edd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e moltiplicando per 
si ottiene la legge di Snell. È lo stesso ragionamento del bagnino che deve raggiungere chi annega: conviene correre più a lungo sulla sabbia e nuotare meno.
La riflessione totale e le fibre ottiche
Passando da un mezzo più denso a uno meno denso (
) il raggio si allontana dalla normale. Oltre l’angolo limite
![\[ \sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bfa1772b760155a1bd574d8577b18023_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
la legge di Snell non ha soluzione e la luce viene riflessa completamente, senza perdite. Per il vetro in aria 
.
Una fibra ottica sfrutta proprio questo: un nucleo di silice con indice leggermente più alto del mantello che lo circonda guida la luce per riflessioni totali successive. Alla lunghezza d’onda di 1550 nm l’attenuazione è circa 0,2 dB/km: dopo 100 km arriva ancora il 1% della luce. Le fibre trasportano quasi tutto il traffico di Internet tra continenti, e per distanze brevi collegano server e switch nei data center.
Le lenti
Una lente sottile convergente di distanza focale 
forma l’immagine di un oggetto a distanza 
a una distanza 
data dall’equazione delle lenti sottili:
![\[ \frac1p + \frac1q = \frac1f \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f1055b4ac985111e4147b027706de975_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
con ingrandimento 
. Il potere di una lente si misura in diottrie, 
con in metri. È l’ottica di fotocamere, microscopi, proiettori e delle lenti dei lettori ottici e dei sensori di immagine.
L’interferenza: l’esperimento di Young
Se la luce è un’onda, due sorgenti coerenti devono interferire: dove le creste coincidono si rinforzano, dove una cresta incontra un ventre si cancellano. Young lo dimostrò nel 1801 con due fenditure sottili.
Dimostrazione della condizione dei massimi
Su un punto dello schermo visto sotto l’angolo 
, lontano rispetto a , i due raggi percorrono cammini che differiscono di 
. Le onde arrivano in fase, e si ha un massimo, se questa differenza è un numero intero di lunghezze d’onda:
![\[ d\sin\theta = m\lambda,\qquad m = 0, \pm1, \pm2, \dots \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-51a7ee7015f3f1b853c2920fa352ad3a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Si ha un minimo se la differenza è un numero dispari di mezze lunghezze d’onda. Per angoli piccoli, su uno schermo a distanza 
, le frange chiare sono equidistanti, a passo 
. Esempio: con un laser rosso da 650 nm, fenditure a 0,25 mm e schermo a 2 m, 
mm. Misurando le frange si misura la lunghezza d’onda con un righello.
Con molte fenditure equidistanti (un reticolo di diffrazione) i massimi diventano righe sottilissime, e poiché la loro posizione dipende da 
, il reticolo separa i colori: è il cuore degli spettrometri. Le iridescenze di un CD sono lo stesso fenomeno.
La diffrazione e i suoi limiti
Un’onda che passa per un’apertura di larghezza si allarga: il primo minimo è a 
. Più piccola è l’apertura, più il fascio si apre. Ne segue un limite fondamentale: nessuno strumento ottico può distinguere dettagli molto più piccoli della lunghezza d’onda (criterio di Rayleigh, 
per un’apertura circolare di diametro 
).
È per questo che l’industria dei semiconduttori è passata a luce di lunghezza d’onda sempre più corta per stampare i circuiti integrati: dalla luce ultravioletta a 193 nm all’ultravioletto estremo a 13,5 nm, che permette di definire i dettagli dei chip più avanzati. Lo stesso limite vale per le antenne: per avere un fascio stretto serve un’antenna grande rispetto alla lunghezza d’onda, come le parabole dei radiotelescopi o le schiere di antenne del 5G.
