Incidenza obliqua: Snell, Fresnel, angolo di Brewster e fibre ottiche
Leggi di Snell dall'accordo di fase, formule di Fresnel, angolo di Brewster con dimostrazione, riflessione totale e onda evanescente, apertura numerica e fibre ottiche.
Se l’onda arriva sulla superficie di separazione con un angolo, oltre all’ampiezza cambia anche la direzione: è la rifrazione, già incontrata in Ottica con la legge di Snell. Con le equazioni di Maxwell si capisce da dove viene quella legge, quanta potenza si riflette a seconda della polarizzazione, perché esiste un angolo senza riflessione e come la riflessione totale permetta di guidare la luce nelle fibre ottiche.
Le leggi di Snell
Teorema. Gli angoli di riflessione e di trasmissione soddisfano
![\[ \theta_r = \theta_i,\qquad n_1\sin\theta_i = n_2\sin\theta_t \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-201afbac1b227079c67049ac95f9b1ac_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. Le tre onde hanno la forma 
. Sulla superficie di separazione (il piano 
) le condizioni al contorno devono valere in ogni punto 
, il che è possibile solo se le tre onde variano lungo la superficie allo stesso modo, cioè se hanno la stessa componente tangenziale del vettore d’onda (accordo di fase):
![\[ k_1\sin\theta_i = k_1\sin\theta_r = k_2\sin\theta_t \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f7c7e41370df5e5824f96d7661ee6cc3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La prima uguaglianza dà 
; la seconda, con 
, dà la legge di Snell. ∎
Le formule di Fresnel
Quanto si riflette dipende dalla polarizzazione: si distinguono il caso TE (campo elettrico perpendicolare al piano di incidenza, parallelo alla superficie) e TM (campo elettrico nel piano di incidenza). Imponendo la continuità delle componenti tangenziali, per materiali non magnetici:
![\[ r_{TE} = \frac{n_1\cos\theta_i - n_2\cos\theta_t}{n_1\cos\theta_i + n_2\cos\theta_t},\qquad r_{TM} = \frac{n_2\cos\theta_i - n_1\cos\theta_t}{n_2\cos\theta_i + n_1\cos\theta_t} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-400e1aac90845e3a3c9ae61e34098cad_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
A incidenza normale entrambe si riducono a 
, il risultato della lezione precedente (a meno del segno convenzionale per il TM). Avvicinandosi all’incidenza radente (
) la riflessione tende a essere totale per entrambe: per questo un lago riflette come uno specchio se lo si guarda da lontano.
L’angolo di Brewster
Teorema. Per la polarizzazione TM esiste un angolo di incidenza senza riflessione,
![\[ \tan\theta_B = \frac{n_2}{n_1} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c2054e0596f88d62c78c7c75c8e042a2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. 
richiede 
. Moltiplicando membro a membro con la legge di Snell 
si ha 
, cioè 
. Poiché 
(i materiali sono diversi), deve essere 
, cioè 
. Allora 
e la legge di Snell diventa 
. ∎
Per aria e vetro 
, per l’acqua circa 53°. La luce riflessa da una superficie d’acqua vicino a quell’angolo è quasi tutta polarizzata TE (orizzontale): gli occhiali polarizzati la bloccano con un filtro verticale ed eliminano i riflessi. Nei laser, finestre inclinate all’angolo di Brewster lasciano passare senza perdite una sola polarizzazione.
La riflessione totale
Se l’onda passa da un materiale più denso a uno meno denso (
), la legge di Snell richiede 
, che supera 1 oltre l’angolo critico
![\[ \theta_c = \arcsin\frac{n_2}{n_1} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-935d9a9a0dd71bb8885f2d75c96228df_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Oltre 
non c’è onda trasmessa che si propaga: tutta la potenza viene riflessa. Nel secondo materiale resta solo un’onda evanescente, che si attenua esponenzialmente allontanandosi dalla superficie, entro una distanza dell’ordine della lunghezza d’onda, e non trasporta potenza. Dal vetro all’aria 
: per questo un prisma a 45° fa da specchio perfetto nei binocoli.
Le fibre ottiche
Una fibra ottica è un nucleo di vetro con indice 
circondato da un mantello con indice 
leggermente più basso. La luce che colpisce l’interfaccia oltre l’angolo critico viene riflessa totalmente e resta intrappolata, anche se la fibra si piega dolcemente.
La luce entra nella fibra solo se arriva entro un cono di accettazione, misurato dall’apertura numerica
![\[ \mathrm{NA} = \sin\theta_{max} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-10828bf40919b065841cfc595e6ff4d4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Esempio. Con 
e 
: NA 
, cono di circa 14°.
Le fibre multimodo hanno un nucleo di 50 µm e ammettono molti percorsi di lunghezza diversa, che allargano gli impulsi (dispersione modale): vanno bene per qualche centinaio di metri. Le fibre monomodo hanno un nucleo di circa 9 µm, così sottile che si propaga un solo modo: le usano tutte le reti a lunga distanza. A 1550 nm il vetro attenua appena 0,2 dB/km, e un segnale può percorrere 100 km prima di dover essere amplificato: è questa trasparenza straordinaria che regge Internet. Ironia della sorte, la “fibra” che spesso si legge nel contratto di casa arriva sì in fibra fino all’armadio di strada, ma poi prosegue fino all’appartamento sul vecchio doppino di rame.
