Linee di trasmissione: equazioni dei telegrafisti e impedenza caratteristica
Quando serve il modello a linea, parametri distribuiti, equazioni dei telegrafisti con dimostrazione, onde e impedenza caratteristica, cavo coassiale, perdite e riflessioni nel tempo.
Nei circuiti di Elettrotecnica si assume che la tensione in un nodo sia la stessa in ogni punto dei fili che lo formano. Questo vale finché i fili sono molto più corti della lunghezza d’onda. Quando non lo sono, una variazione di tensione impiega un tempo apprezzabile a percorrerli, e il collegamento va trattato come una linea di trasmissione: cavi coassiali, doppini, piste dei circuiti stampati veloci, linee elettriche lunghe centinaia di chilometri. In questa lezione ricaviamo le equazioni delle linee e il significato dell’impedenza caratteristica.
Quando serve il modello a linea
La regola pratica: se la lunghezza del collegamento supera circa un decimo della lunghezza d’onda, bisogna considerarne la propagazione.
- A 50 Hz
km: solo le linee elettriche lunghissime sono linee di trasmissione. - A 1 GHz
cm nel vuoto e circa 15 cm in un circuito stampato: qualsiasi pista di qualche centimetro lo è. - Nei circuiti digitali conta il tempo di salita dei fronti: con fronti di 1 ns il segnale percorre circa 15 cm di pista durante la salita, quindi piste più lunghe di qualche centimetro vanno progettate come linee.
Il modello a costanti distribuite
Una linea è fatta di due conduttori. Un tratto di lunghezza 
si rappresenta con una resistenza e un’induttanza in serie (i conduttori) e una conduttanza e una capacità in parallelo (l’isolante tra i due), tutte proporzionali a : 
sono i parametri per unità di lunghezza.
Le equazioni dei telegrafisti
Teorema. Tensione e corrente lungo la linea soddisfano
![\[ -\frac{\partial v}{\partial z} = Ri + L\frac{\partial i}{\partial t},\qquad -\frac{\partial i}{\partial z} = Gv + C\frac{\partial v}{\partial t} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d1f87eaa920dd1bb4d089cc6ff0deac8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. Si applica la legge di Kirchhoff delle tensioni al tratto: 
. Quella delle correnti al nodo di destra: 
(a meno di termini di ordine 
). Dividendo per e facendolo tendere a zero si ottengono le due equazioni. ∎
Le onde sulla linea
In regime sinusoidale, con i fasori 
e 
:
![\[ \frac{dV}{dz} = -(R + j\omega L)\,I,\qquad \frac{dI}{dz} = -(G + j\omega C)\,V \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cc9b8873762bc4a0197d5a1c8eccf62a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Derivando la prima e sostituendo la seconda, 
, con la costante di propagazione
![\[ \gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R + j\omega L)(G + j\omega C)} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2598e2f443b16733deeaf7d2825be3a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La soluzione generale è la somma di un’onda che va verso 
e una che torna indietro:
![\[ V(z) = V^+e^{-\gamma z} + V^-e^{\gamma z},\qquad I(z) = \frac{1}{Z_0}\left(V^+e^{-\gamma z} - V^-e^{\gamma z}\right) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f4f8e8b320a8e4f7c05a6f062d8a0cad_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove l’espressione della corrente si ricava dalla prima equazione, con
![\[ Z_0 = \sqrt{\frac{R + j\omega L}{G + j\omega C}} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dccfeb1d020a059ddf07ef9eb458d65e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
l’impedenza caratteristica: il rapporto tra tensione e corrente di un’onda che viaggia in un solo verso.
La linea senza perdite
Con 
, che è una buona approssimazione per tratti non troppo lunghi:
![\[ Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}},\qquad \beta = \omega\sqrt{LC},\qquad v = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ccd6bc188f65f8c2177dc9f282e8fd1f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
è reale e indipendente dalla frequenza. Attenzione: non è una resistenza che dissipa, ma il rapporto 
che una linea infinitamente lunga presenterebbe al generatore, mentre l’energia viaggia via senza tornare.
Esempio. Un cavo coassiale con 
nH/m e 
pF/m ha 
Ω e 
m/s, due terzi della velocità della luce: un metro di cavo ritarda il segnale di 5 ns.
Il coassiale. Per conduttori di diametro 
(interno) e 
(esterno) separati da un dielettrico di permittività relativa 
, dalle formule di Fisica 2 per capacità e induttanza si ottiene
![\[ Z_0 = \frac{60}{\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\frac{D}{d}\ \Omega \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ba93ef816f21312eb4e5d5f9cf8f807a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il comune RG-58 (
mm, 
mm, polietilene con 
) dà circa 50 Ω. I valori standard sono 50 Ω per le radiofrequenze (un compromesso tra potenza trasportabile e perdite) e 75 Ω per la televisione (perdite minime).
In ogni linea in cui il campo è trasversale (TEM), 
: la velocità è quella della luce nel dielettrico, 
, qualunque sia la geometria.
Le linee con perdite
Le perdite attenuano l’onda di 
, e si esprimono in dB per metro o per 100 m. Crescono con la frequenza: la resistenza 
cresce come 
per l’effetto pelle, e le perdite nel dielettrico (
) in proporzione a 
. Un’osservazione di Heaviside: se 
, 
e non dipendono dalla frequenza e la linea, pur attenuando, non distorce. Nelle linee telefoniche di inizio Novecento si aggiungevano induttori lungo il cavo (le bobine di Pupin) proprio per avvicinarsi a questa condizione.
Le riflessioni nel tempo
Se un gradino di tensione viaggia su una linea e arriva a un’estremità chiusa su , viene assorbito completamente. Se l’estremità è aperta o in cortocircuito, o chiusa su un carico diverso, una parte torna indietro: per un circuito digitale significa oscillazioni e falsi fronti. Per questo le linee dei bus veloci (USB, HDMI, Ethernet, le memorie dei computer) sono progettate a impedenza controllata e terminate sull’impedenza caratteristica. La riflessione si usa anche come strumento: il riflettometro (TDR) manda un impulso nel cavo e dal ritardo dell’eco calcola dove si trova un guasto, con precisione di centimetri.
