Misure di resistenza: voltamperometrico, quattro fili e ponte di Wheatstone

Misurare una resistenza sembra la cosa più semplice: si applica una tensione, si misura la corrente e si divide. In pratica gli strumenti, i cavi e i contatti aggiungono errori che possono superare la grandezza da misurare. In questa lezione vediamo il metodo voltamperometrico con le sue due inserzioni, la misura a quattro fili per le resistenze piccole, il ponte di Wheatstone con la dimostrazione dell’equilibrio e della sensibilità, e i ponti in alternata.

Il metodo voltamperometrico

Si misurano la tensione ai capi del resistore e la corrente che lo attraversa, e si calcola . Ci sono due modi di collegare gli strumenti, e nessuno dei due è perfetto.

Voltmetro a valle (il voltmetro direttamente ai capi di , l’amperometro prima del parallelo). Il voltmetro legge la tensione giusta, ma l’amperometro misura anche la corrente assorbita dal voltmetro. Si misura il parallelo:

Voltmetro a monte (il voltmetro ai capi della serie amperometro più ). L’amperometro legge la corrente giusta, ma il voltmetro misura anche la caduta sull’amperometro. Si misura la serie:

Teorema. L’inserzione a valle conviene per , quella a monte per .

Dimostrazione. Si confrontano i moduli degli errori relativi, nel caso usuale : l’inserzione a valle sbaglia di , quella a monte di . Il primo cresce con , il secondo decresce. Sono uguali quando , cioè . Sotto questo valore l’errore a valle è il più piccolo, sopra lo è quello a monte. ∎

Con Ω e MΩ il valore di scambio è circa 3 kΩ. La regola pratica: resistenze piccole a valle, resistenze grandi a monte. In entrambi i casi l’errore è sistematico e, conoscendo e , si può correggere.

Le resistenze piccole: la misura a quattro fili

Sotto l’ohm entra in gioco un nemico nuovo: la resistenza dei cavi e dei contatti, che può valere decine di milliohm. Un multimetro a due fili misura la somma di tutto ciò che sta tra i suoi morsetti.

La soluzione è il metodo a quattro fili (o di Kelvin): due cavi portano la corrente di prova, altri due, collegati direttamente ai capi del resistore all’interno dei primi, leggono la tensione. Il voltmetro ha resistenza altissima, quindi nei cavi di tensione non scorre corrente e su di essi non c’è caduta: legge esattamente . Le resistenze dei cavi di corrente non contano, perché il generatore impone la corrente qualunque esse siano.

Esempio. Uno shunt da 0,1 Ω collegato con due cavi da 0,05 Ω ciascuno: a due fili si legge 0,2 Ω, un errore del 100 %. A quattro fili si legge 0,1 Ω. Per lo stesso motivo gli shunt di precisione e le sonde di temperatura Pt100 hanno quattro terminali.

Il ponte di Wheatstone

Il ponte confronta la resistenza incognita con resistenze campione invece di misurare tensioni e correnti. Quattro resistenze formano due partitori alimentati dalla stessa tensione : a sinistra sopra e sotto, a destra sopra e sotto. Un rivelatore di zero (un galvanometro o un voltmetro sensibile) collega i punti centrali A e B.

Teorema (equilibrio). Il rivelatore segna zero se e solo se

Dimostrazione. Con il rivelatore che non assorbe corrente, i due rami sono partitori indipendenti:

Lo zero significa , cioè . Svolgendo, il termine compare da entrambe le parti e si semplifica: resta , da cui la formula. Il passaggio si può percorrere al contrario, quindi la condizione è anche sufficiente. ∎

Il risultato non dipende da né dal rivelatore: la tensione di alimentazione può variare e il rivelatore può essere starato, basta che sappia riconoscere lo zero. L’incertezza dipende solo da quella delle resistenze campione e dalla sensibilità con cui si vede lo zero. Per questo i ponti sono stati per un secolo il metodo di riferimento nei laboratori di taratura. Nei ponti manuali è una cassetta a decadi e il rapporto è un moltiplicatore a potenze di dieci.

Il ponte fuori equilibrio e la sua sensibilità

Spesso il ponte non si riequilibra: si legge la tensione di squilibrio, che segue le piccole variazioni di . È così che funzionano gli estensimetri e molti sensori (lezione sui sensori).

Teorema. Con tutte le resistenze uguali a e , la tensione di uscita è

Dimostrazione. , mentre . La differenza è

e per piccolo il denominatore vale circa 4. ∎

La relazione è quasi lineare per piccole variazioni: con l’errore di linearità è dello 0,5 %. Con V e l’uscita vale circa 1,25 mV: segnali piccoli, che richiedono un amplificatore differenziale preciso.

I ponti in alternata

Con un’alimentazione sinusoidale e impedenze al posto delle resistenze, lo stesso ragionamento porta alla condizione di equilibrio

Essendo un’uguaglianza tra numeri complessi, equivale a due condizioni (parte reale e parte immaginaria, oppure modulo e fase): servono due regolazioni indipendenti, e l’equilibrio si raggiunge alternandole. Da qui nascono i ponti classici per misurare capacità con le loro perdite e induttanze con la loro resistenza. Il ponte di Maxwell, per esempio, misura un induttore reale confrontandolo con un condensatore campione, più stabile e preciso di qualsiasi induttore campione. Oggi gli strumenti LCR automatici fanno lo stesso lavoro: misurano tensione e corrente in modulo e fase con demodulazione sincrona e calcolano l’impedenza.

Resistenze molto grandi

Sopra i gigaohm il problema si rovescia: le correnti sono di picoampere e le correnti di dispersione sulle superfici degli isolanti e dei cavi possono superare quella da misurare. Si usano elettrometri con un anello di guardia, un conduttore portato allo stesso potenziale del punto di misura che intercetta le correnti superficiali. I misuratori d’isolamento (megaohmmetri) applicano tensioni di centinaia o migliaia di volt per verificare gli isolamenti di cavi, motori e impianti.