Misure di potenza: wattmetro, inserzione Aron e forme d’onda distorte
Wattmetro elettrodinamico e numerico, teorema di Blondel, inserzione Aron con dimostrazione, letture con carico equilibrato e potenza reattiva, armoniche, fattore di potenza e THD, contatori di energia.
La potenza elettrica è la grandezza che si paga in bolletta e che decide il riscaldamento dei componenti, ed è anche una delle più facili da misurare male. Non basta moltiplicare tensione e corrente efficaci: serve la media del prodotto istantaneo. In questa lezione vediamo il wattmetro, la misura nei sistemi trifase con l’inserzione Aron e la sua dimostrazione, e cosa cambia quando le forme d’onda non sono sinusoidali. Le definizioni di potenza attiva, reattiva e apparente sono nella lezione sulla potenza di Elettrotecnica.
Che cosa si misura
La potenza attiva è la media della potenza istantanea su un periodo:
![\[ P = \frac{1}{T}\int_0^T v(t)\,i(t)\,dt \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b66449706c0c000c56d2db80a5af45e8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
In regime sinusoidale vale 
, con 
e 
valori efficaci. Un voltmetro e un amperometro danno solo la potenza apparente 
; per la potenza attiva serve uno strumento che moltiplichi i valori istantanei, cioè che “veda” lo sfasamento.
Il wattmetro
Il wattmetro ha due circuiti: un circuito amperometrico, in serie al carico, attraversato dalla corrente, e un circuito voltmetrico, in parallelo, alimentato dalla tensione. Nel classico strumento elettrodinamico la bobina fissa porta la corrente e quella mobile la corrente proporzionale alla tensione: la coppia è proporzionale al prodotto istantaneo, e l’inerzia della parte mobile ne fa la media. Lo strumento indica quindi 
direttamente.
I wattmetri moderni sono numerici: campionano tensione e corrente con due convertitori simultanei e calcolano
![\[ P = \frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N} v_k\,i_k \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2c2dcc72e6916de2ef9e526024eaaa61_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
su un numero intero di periodi, sincronizzando il campionamento con la rete. Dagli stessi campioni ricavano anche i valori efficaci, la potenza apparente, il fattore di potenza e le armoniche.
Come voltmetri e amperometri, anche il wattmetro ha un errore di inserzione: il circuito voltmetrico può essere collegato a monte o a valle di quello amperometrico, e la potenza assorbita dallo strumento si somma a quella del carico. Il ragionamento è lo stesso del metodo voltamperometrico (lezione sulle misure di resistenza): con carichi a bassa impedenza conviene il voltmetrico a valle, con carichi ad alta impedenza a monte. Bisogna anche rispettare la portata di corrente e di tensione, non solo quella di potenza: con un carico a basso fattore di potenza lo strumento può essere in sovracorrente mentre l’indice segna poco.
I sistemi trifase e il teorema di Blondel
In un sistema a 
fili la potenza totale si misura con 
wattmetri (teorema di Blondel): ciascuno porta la corrente di un filo e la tensione tra quel filo e un filo comune scelto come riferimento, che non ha bisogno di wattmetro. Con il neutro (quattro fili) servono tre wattmetri; senza neutro (tre fili) ne bastano due: è l’inserzione Aron.
Teorema (Aron). In un sistema trifase senza neutro, qualunque sia il carico (equilibrato o no), la potenza attiva totale è 
, con 
che misura 
e 
, 
che misura 
e 
.
Dimostrazione. Si scelgono le tensioni dei tre fili rispetto a un punto qualsiasi. La potenza istantanea entrante nel carico è 
. Senza neutro le tre correnti hanno somma nulla (legge di Kirchhoff ai nodi applicata al carico), quindi 
. Sostituendo:
![\[ p = v_1 i_1 + v_2 i_2 - v_3 i_1 - v_3 i_2 = (v_1 - v_3)\,i_1 + (v_2 - v_3)\,i_2 = v_{13}\,i_1 + v_{23}\,i_2 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f530ba660837ba3028c34c8e05f642e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Facendo la media su un periodo, ciascun termine è proprio la lettura di uno dei due wattmetri. Non si è fatta alcuna ipotesi sul carico né sulla forma d’onda. ∎
Le letture con carico equilibrato
Con una terna di tensioni simmetrica di sequenza diretta 1-2-3, tensione concatenata , corrente di linea e carico equilibrato con sfasamento 
(positivo se induttivo), i due wattmetri leggono
![\[ W_1 = VI\cos(\varphi - 30°),\qquad W_2 = VI\cos(\varphi + 30°) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1417488a82d023f159136474297fde8b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. Con le tensioni di fase 
, 
, 
, la corrente 
è in ritardo di su 
. La tensione 
ha modulo 
e fase 
, quindi lo sfasamento tra 
e è 
. Allo stesso modo 
ha fase 
e 
ha fase 
: lo sfasamento è 
. La lettura di un wattmetro è il prodotto dei valori efficaci per il coseno dello sfasamento. ∎
Da qui seguono due risultati utili:
- la somma
, la potenza trifase, come deve essere; - la differenza
, quindi la potenza reattiva si ottiene come 
e il fattore di potenza da 
.
Con un carico puramente resistivo i due wattmetri leggono uguale. Quando supera 60° (fattore di potenza sotto 0,5) diventa negativo: lo strumento analogico va a fondo scala al contrario, e bisogna invertirne il circuito voltmetrico e sottrarre la lettura.
Forme d’onda distorte
Gli alimentatori elettronici, gli inverter e le lampade a LED assorbono correnti molto diverse da una sinusoide. Scomponendo tensione e corrente in serie di Fourier (lezione sulla trasformata di Fourier) si ottiene un risultato importante.
Teorema. La potenza attiva è la somma dei contributi delle singole armoniche:
![\[ P = V_0 I_0 + \sum_{n \ge 1} V_n I_n \cos\varphi_n \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-48de13d7bd7b87d97e15ada62a3b33db_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
con 
, 
valori efficaci dell’armonica e 
il loro sfasamento.
Dimostrazione. Nel prodotto 
compaiono termini del tipo 
. Per 
la loro media su un periodo è zero, per l’ortogonalità delle funzioni trigonometriche; per 
la media vale 
per le ampiezze di picco, cioè 
con i valori efficaci. Resta solo la somma dei termini con la stessa frequenza. ∎
La conseguenza: se la tensione di rete è sinusoidale, solo l’armonica fondamentale della corrente porta potenza attiva, mentre le altre aumentano il valore efficace della corrente (e quindi le perdite nei cavi) senza portare energia. Il fattore di potenza 
non coincide più con 
:
![\[ \lambda = \frac{I_1}{I_{rms}}\cos\varphi_1 = \frac{\cos\varphi_1}{\sqrt{1 + \mathrm{THD}^2}} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8d0008e4efbbb8d182c9337f6780f23d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove la distorsione armonica totale 
è il rapporto tra il valore efficace delle armoniche e quello della fondamentale. Un raddrizzatore con condensatore di livellamento, con THD del 100 %, ha 
anche con la fondamentale in fase. Per questo le norme impongono la correzione del fattore di potenza negli alimentatori sopra qualche decina di watt, e per misurare questi carichi servono wattmetri numerici con banda di qualche kilohertz.
I contatori di energia
L’energia è l’integrale della potenza nel tempo, in kilowattora. I contatori elettronici delle abitazioni sono wattmetri numerici con un integratore: campionano tensione e corrente (la corrente con uno shunt o un trasformatore), calcolano la potenza e accumulano l’energia, distinguendo le fasce orarie e trasmettendo i dati a distanza. La loro classe di precisione, tipicamente dell’1 %, è fissata dalle norme sui contatori fiscali.
