Vai al contenuto
Elettronica Applicata

Specchi di corrente, approfondimento: effetto Early, Wilson, cascode e Widlar dimostrati

Errore dovuto all'effetto Early e alle correnti di base, transistor di aiuto, specchio di Wilson e cascode con le resistenze d'uscita dimostrate, cascode a larga escursione, specchio di Widlar risolto per iterazione, specchi MOS con lambda.

8 min di lettura 0 commenti

Questa pagina approfondisce la lezione sugli specchi di corrente: ricava con tutti i passaggi le formule che nella lezione sono solo enunciate, cioè l’errore dello specchio con transistor di aiuto e di quello di Wilson, la resistenza d’uscita dello specchio di Wilson e del cascode con il modello per piccoli segnali, l’effetto Early sul rapporto di copia, e mostra come si risolve l’equazione dello specchio di Widlar, che non ha una soluzione in forma chiusa. Le grandezze sono quelle della lezione: \beta guadagno di corrente, V_T = kT/q \approx 25{,}9 mV a 300 K, V_A tensione di Early, r_o = V_A/I_C, g_m = I_C/V_T.

Lo specchio semplice con l’effetto Early

Nella lezione si è calcolato l’errore dovuto alle correnti di base, supponendo le due correnti di collettore uguali. Con l’effetto Early non lo sono: a parità di v_{BE}, la corrente di collettore cresce con v_{CE}:

    \[ I_C = I_S\,e^{v_{BE}/V_T}\left(1 + \frac{v_{CE}}{V_A}\right) \]

Il transistor di riferimento, collegato a diodo, ha v_{CE1} = v_{BE}; quello d’uscita ha la v_{CE2} imposta dal carico. Le basi sono collegate, quindi il fattore esponenziale è lo stesso e si semplifica nel rapporto:

    \[ \frac{I_{C2}}{I_{C1}} = \frac{1 + v_{CE2}/V_A}{1 + v_{BE}/V_A} \]

Caratteristica d'uscita di un BJT con l'effetto Early
Le rette della caratteristica, prolungate, si incontrano in meno V con A. Il transistor di riferimento lavora a v CE uguale a V BE, quello d’uscita alla tensione imposta dal carico: con la stessa v BE la corrente d’uscita è più grande.

Mettendo insieme le correnti di base: al nodo di riferimento I_{REF} = I_{C1} + I_{C1}/\beta + I_{C2}/\beta. Con I_{C2} = kI_{C1}, dove k è il rapporto appena trovato,

    \[ I_{OUT} = I_{C2} = \frac{k\,I_{REF}}{1 + (1 + k)/\beta} \]

Per k = 1 si ritrova la formula della lezione. Esempio. V_A = 100 V, v_{BE} = 0{,}7 V, v_{CE2} = 5 V, \beta = 100: k = 1{,}05/1{,}007 = 1{,}043, e I_{OUT} = 1{,}043/1{,}0204\cdot I_{REF} \approx 1{,}022\,I_{REF}. I due errori hanno segno opposto e qui l’effetto Early prevale: la corrente d’uscita è il 2,2 % più alta del riferimento.

Lo specchio con transistor di aiuto

Un terzo transistor Q3, a inseguitore di emettitore, ha la base sul collettore di Q1 e l’emettitore sulle basi di Q1 e Q2: fornisce lui le due correnti di base.

Specchio di corrente con transistor di aiuto
Q3, a inseguitore di emettitore, fornisce le correnti di base di Q1 e Q2 prendendole dall’alimentazione: dal ramo di riferimento esce solo la piccola corrente di base di Q3.

Teorema. Con transistor uguali, I_{OUT} = \dfrac{I_{REF}}{1 + \dfrac{2}{\beta(\beta + 1)}}, cioè un errore relativo di circa 2/\beta^2.

Dimostrazione. Q1 e Q2 hanno la stessa v_{BE}, quindi I_{C1} = I_{C2} = I_C e correnti di base I_C/\beta ciascuno. Queste due correnti, 2I_C/\beta, escono dall’emettitore di Q3; la sua corrente di base è \frac{2I_C}{\beta(\beta + 1)}, perché la corrente di emettitore è \beta + 1 volte quella di base. Al nodo del collettore di Q1, il riferimento si divide tra il collettore di Q1 e la base di Q3:

    \[ I_{REF} = I_C + \frac{2I_C}{\beta(\beta + 1)} \]

da cui la formula. ∎

Con \beta = 100 l’errore scende dal 2 % allo 0,02 %. Il prezzo è che il ramo di riferimento ha ora due v_{BE} in serie, circa 1,4 V, che riducono la dinamica con alimentazioni basse.

Lo specchio di Wilson

Nello specchio di Wilson la corrente di riferimento entra nel collettore di Q1, che pilota la base di Q3, il transistor d’uscita; l’emettitore di Q3 va al collettore di Q2, collegato a diodo, la cui base è unita a quella di Q1. Q1 e Q2 formano quindi uno specchio semplice che “copia” la corrente di emettitore di Q3 nel ramo di riferimento.

Specchio di Wilson
La corrente di riferimento entra nel collettore di Q1, che pilota la base di Q3. La corrente di emettitore di Q3 passa in Q2, collegato a diodo, che la copia in Q1 tramite le basi comuni: l’anello di retroazione rende la corrente d’uscita precisa e la resistenza d’uscita alta.

Teorema. Con transistor uguali, I_{OUT} = I_{REF}\left(1 - \dfrac{2}{\beta^2 + 2\beta + 2}\right), cioè un errore relativo di circa 2/\beta^2.

Dimostrazione. Sia I_C la corrente di collettore di Q1 e Q2, uguali perché hanno la stessa v_{BE} (trascuriamo l’effetto Early). Il nodo del collettore di Q2 riceve la corrente di emettitore di Q3 e la distribuisce tra il collettore di Q2 e le due basi: I_{E3} = I_C + 2I_C/\beta = I_C(\beta + 2)/\beta. La corrente d’uscita è quella di collettore di Q3: I_{OUT} = I_{E3}\,\beta/(\beta + 1) = I_C(\beta + 2)/(\beta + 1). Al nodo d’ingresso il riferimento si divide tra il collettore di Q1 e la base di Q3: I_{REF} = I_C + I_{OUT}/\beta. Ricavando I_C = I_{OUT}(\beta + 1)/(\beta + 2) e sostituendo:

    \[ I_{REF} = I_{OUT}\left(\frac{\beta + 1}{\beta + 2} + \frac{1}{\beta}\right) = I_{OUT}\,\frac{\beta^2 + 2\beta + 2}{\beta(\beta + 2)} \]

Quindi I_{OUT}/I_{REF} = \dfrac{\beta^2 + 2\beta}{\beta^2 + 2\beta + 2} = 1 - \dfrac{2}{\beta^2 + 2\beta + 2}. ∎

La resistenza d’uscita. Se la tensione sul collettore di Q3 aumenta, la corrente d’uscita tende a crescere per l’effetto Early. Ma quella corrente, attraverso Q2 e lo specchio Q2-Q1, aumenta la corrente di collettore di Q1, che sottrae corrente alla base di Q3 e la riporta indietro: è una retroazione negativa di corrente. L’analisi per piccoli segnali (modello con r_\pi, g_m, r_o, lezione sugli amplificatori a transistor) dà

    \[ R_{out} \approx \frac{\beta\,r_o}{2} \]

Il fattore 2 nasce perché metà della variazione della corrente di collettore di Q3 viene restituita come corrente di base attraverso lo specchio, mentre l’altra metà passa nella resistenza r_o di Q3: la retroazione moltiplica la resistenza per circa \beta/2 invece che per \beta.

La resistenza d’uscita del cascode

Il cascode MOS è fatto da due transistor in serie: M1 in basso, con il gate a tensione fissa, si comporta come un generatore di corrente con resistenza r_{o1}; M2 sopra, con il gate a tensione fissa, porta la corrente all’uscita.

Cascode MOS e suo circuito per piccoli segnali
A sinistra lo schema: M1 e M2 in serie con i gate a tensioni fisse. A destra il circuito equivalente con la corrente di prova i: r o1 porta il source di M2 a v s, e la tensione gate-source di M2 vale meno v s.

Teorema. La resistenza d’uscita del cascode MOS è

    \[ R_{out} = r_{o1} + r_{o2} + g_{m2}r_{o2}r_{o1} \approx g_{m2}\,r_{o2}\,r_{o1} \]

Dimostrazione. Si applica all’uscita (il drain di M2) una piccola corrente di prova i, con tutti i generatori costanti spenti: i gate sono a tensione fissa, cioè a massa per i piccoli segnali. In M1 il gate e il source sono a massa, quindi il suo generatore g_mv_{gs} non conduce, e M1 si riduce alla resistenza r_{o1}: la tensione sul source di M2 è v_s = i\,r_{o1}. In M2 il gate è a massa, quindi v_{gs2} = -v_s = -i\,r_{o1}, e il suo generatore porta la corrente g_{m2}v_{gs2} = -g_{m2}r_{o1}i dal drain al source. Per la legge di Kirchhoff nel nodo di drain, la corrente nella r_{o2} è i - g_{m2}v_{gs2} = i(1 + g_{m2}r_{o1}), e la tensione d’uscita è

    \[ v_{out} = v_s + r_{o2}\,i\,(1 + g_{m2}r_{o1}) = i\,\big[r_{o1} + r_{o2} + g_{m2}r_{o2}r_{o1}\big] \]

Dividendo per i si ottiene la formula. ∎

Il significato fisico: M2 tiene il proprio source quasi fermo, perché ogni tentativo di alzarlo riduce la sua v_{gs} e quindi la corrente. La resistenza di M1 viene “moltiplicata” per il guadagno intrinseco g_{m2}r_{o2} di M2, tipicamente 20-100. Lo stesso calcolo per il cascode bipolare dà R_{out} \approx \beta r_o: qui la moltiplicazione è limitata dalla corrente di base di Q2, che sfugge verso la base fissa.

La tensione minima del cascode

Perché tutti i transistor restino in saturazione (nei MOS, v_{DS} \ge V_{OV}) il cascode ha bisogno di una tensione minima ai suoi capi. Nello specchio cascode “semplice” i gate dei due transistor di riferimento collegati a diodo, uno sopra l’altro, fissano il gate di M2 a 2V_{GS} = 2(V_t + V_{OV}). Il source di M2 sta quindi a V_t + V_{OV}, e il drain d’uscita deve stare almeno V_{OV} sopra: v_{out,min} = V_t + 2V_{OV}. M1 lavora con v_{DS} = V_t + V_{OV}, più del necessario: si spreca una V_t. Lo specchio cascode a grande escursione polarizza il gate di M2 a V_t + 2V_{OV} con un ramo apposito, in modo che M1 lavori al limite della saturazione con v_{DS} = V_{OV}, e la tensione minima scende a 2V_{OV}. Esempio. Con V_t = 0{,}5 V e V_{OV} = 0{,}2 V: 0,9 V contro 0,4 V, una differenza decisiva con un’alimentazione di 1,2 V.

L’equazione dello specchio di Widlar

Per il progetto, cioè per trovare R_E data la corrente, la formula della lezione si applica direttamente. Per l’analisi, cioè per trovare I_{OUT} data R_E, l’equazione

    \[ V_T\ln\frac{I_{REF}}{I_{OUT}} = I_{OUT}R_E \]

è trascendente: l’incognita compare sia dentro il logaritmo sia fuori, e non si isola con l’algebra. Si risolve per iterazione. Riscritta come I_{OUT} = \frac{V_T}{R_E}\ln\frac{I_{REF}}{I_{OUT}}, si parte da un valore di prova, lo si mette a destra e si calcola un nuovo valore, finché non si stabilizza. La convergenza è garantita perché il secondo membro varia lentamente: la sua derivata rispetto a I_{OUT} è -V_T/(R_EI_{OUT}), che nel punto di soluzione vale -1/\ln(I_{REF}/I_{OUT}), minore di 1 in modulo quando il rapporto tra le correnti supera e \approx 2{,}7, cioè sempre nei casi d’uso del Widlar (per una funzione con derivata minore di 1 in modulo l’iterazione è una contrazione e converge, lezione sugli zeri di funzione di Calcolo numerico). Un esempio completo è negli esercizi.

Soluzione grafica dell'equazione dello specchio di Widlar
La curva blu è la differenza delle V BE, la retta rossa la caduta sul resistore di emettitore: la corrente d’uscita è l’intersezione. La linea tratteggiata arancione mostra le iterazioni, che partono da I 0 e si avvicinano alla soluzione oscillando.

Gli specchi MOS e la modulazione di canale

Per lo specchio MOS con la modulazione della lunghezza di canale \lambda, lo stesso ragionamento dell’effetto Early dà

    \[ \frac{I_{OUT}}{I_{REF}} = \frac{(W/L)_2}{(W/L)_1}\cdot\frac{1 + \lambda v_{DS2}}{1 + \lambda v_{DS1}} \]

con v_{DS1} = v_{GS} per il transistor collegato a diodo. Poiché \lambda è inversamente proporzionale alla lunghezza del canale, negli specchi di precisione si usano transistor lunghi (L di alcune volte il minimo del processo), oppure si rende v_{DS2} uguale a v_{DS1} con un cascode o con un amplificatore che regola la tensione d’uscita.

Gli esercizi sull’argomento, con dimensionamenti e analisi del tipo d’esame, sono nella pagina degli esercizi collegata in cima.

Articoli correlati

Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Oldest
Newest Most Voted
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x