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Elettronica Applicata

Esercizi sugli specchi di corrente svolti, dal livello base all’esame

Dodici esercizi con soluzione: specchio semplice BJT e MOS, rapporti di corrente, effetto Early, Wilson, cascode, Widlar, transistor di aiuto, specchi a più uscite, carico attivo e sensibilità all'alimentazione.

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Esercizi sugli specchi di corrente del tipo che si danno nei corsi di Elettronica applicata e di Elettronica analogica, in tre livelli: base, per l’uso diretto delle formule; medio, con dimensionamenti ed errori; esame, con circuiti completi come negli scritti. Il risultato è indicato subito; la soluzione completa si apre con un clic. Le dimostrazioni delle formule sono nella lezione e nell’approfondimento collegati in cima.

Dove non indicato: V_{BE} = 0{,}7 V, V_T = 25{,}9 mV, transistor uguali.

Livello base

Esercizio 1. Lo specchio semplice bipolare

Uno specchio semplice è alimentato da V_{CC} = 10 V; la corrente di riferimento è fissata da un resistore R = 9{,}3 kΩ tra l’alimentazione e il collettore del transistor collegato a diodo. Con \beta = 100, quanto valgono I_{REF} e I_{OUT}?

Risultato: I_{REF} = 1{,}00 mA; I_{OUT} = 0{,}980 mA.

Soluzione

Il collettore del transistor collegato a diodo sta a V_{BE}: la caduta sul resistore è 10 - 0{,}7 = 9{,}3 V, quindi I_{REF} = 9{,}3/9{,}3\,\text{k} = 1{,}00 mA.

Errore delle correnti di base (lezione): I_{OUT} = I_{REF}/(1 + 2/\beta) = 1{,}00/1{,}02 = 0{,}980 mA.

Esercizio 2. Specchio con rapporto di aree

Si vuole un’uscita di circa 3 mA da un riferimento di 1 mA usando transistor con area d’emettitore in rapporto 3 a 1. Con \beta = 100, quanto vale esattamente I_{OUT}?

Risultato: 2,885 mA.

Soluzione

Con aree in rapporto n = 3, alla stessa v_{BE} le correnti sono I_{C1} e 3I_{C1}, e le correnti di base I_{C1}/\beta e 3I_{C1}/\beta.

Nodo di riferimento: I_{REF} = I_{C1} + (1 + 3)I_{C1}/\beta = I_{C1}(1 + 4/\beta) = 1{,}04\,I_{C1}. Quindi I_{C1} = 0{,}9615 mA e I_{OUT} = 3\cdot 0{,}9615 = 2{,}885 mA.

In generale I_{OUT} = nI_{REF}/(1 + (1 + n)/\beta): l’errore cresce con il rapporto di copia, perché il transistor grande richiede più corrente di base.

Esercizio 3. Lo specchio MOS

Uno specchio MOS ha (W/L)_1 = 10, (W/L)_2 = 40 e I_{REF} = 100 µA. Calcola I_{OUT} trascurando la modulazione di canale, e poi con \lambda = 0{,}04 V^{-1}, V_{GS} = 1{,}0 V e V_{DS2} = 3{,}0 V.

Risultato: 400 µA; con la modulazione di canale 431 µA.

Soluzione

Senza modulazione: I_{OUT} = 100\cdot 40/10 = 400 µA.

Con la modulazione (approfondimento): I_{OUT} = 400\cdot\dfrac{1 + 0{,}04\cdot 3{,}0}{1 + 0{,}04\cdot 1{,}0} = 400\cdot\dfrac{1{,}12}{1{,}04} = 431 µA, un errore dell’8 %, dovuto solo alla differenza di V_{DS} tra i due transistor.

Esercizio 4. La resistenza d’uscita

Uno specchio semplice bipolare fornisce 0,5 mA, con V_A = 80 V. Di quanto cambia la corrente se la tensione sul collettore d’uscita passa da 1 V a 5 V?

Risultato: circa 25 µA, il 5 %.

Soluzione

r_o = V_A/I_C = 80/0{,}5\cdot 10^{-3} = 160 kΩ. Una variazione di 4 V produce \Delta I = 4/160\,\text{k} = 25 µA, cioè il 5 % di 0,5 mA. Per un generatore di corrente ideale sarebbe zero: la resistenza d’uscita è il parametro che misura quanto lo specchio si avvicina all’ideale.

Livello medio

Esercizio 5. Progetto di uno specchio di Widlar

Da un riferimento di 1 mA si vuole ottenere un’uscita di 20 µA con uno specchio di Widlar. Quanto deve valere il resistore di emettitore? Confronta con l’alternativa di uno specchio semplice con riferimento da 20 µA ottenuto con un resistore da V_{CC} = 10 V.

Risultato: R_E \approx 5{,}06 kΩ; l’alternativa richiederebbe circa 465 kΩ.

Soluzione

Dalla formula della lezione: R_E = \dfrac{V_T}{I_{OUT}}\ln\dfrac{I_{REF}}{I_{OUT}} = \dfrac{0{,}0259}{20\cdot 10^{-6}}\ln 50 = 1295\cdot 3{,}912 \approx 5{,}06 kΩ.

Specchio semplice con riferimento da 20 µA: R = (10 - 0{,}7)/20\,\mu\text{A} = 465 kΩ. Su un circuito integrato un resistore di quel valore occupa un’area enorme rispetto a uno da 5 kΩ: è la ragione dello specchio di Widlar.

Esercizio 6. Analisi di uno specchio di Widlar

Uno specchio di Widlar ha I_{REF} = 1 mA e R_E = 2 kΩ. Trova I_{OUT}.

Soluzione grafica dell'equazione dello specchio di Widlar
La curva blu è la differenza delle V BE, la retta rossa la caduta sul resistore di emettitore: la corrente d’uscita è l’intersezione. La linea tratteggiata arancione mostra le iterazioni, che partono da I 0 e si avvicinano alla soluzione oscillando.

Risultato: circa 41 µA.

Soluzione

L’equazione V_T\ln(I_{REF}/I_{OUT}) = I_{OUT}R_E è trascendente e si risolve per iterazione (approfondimento), scritta come I_{OUT} = \dfrac{V_T}{R_E}\ln\dfrac{I_{REF}}{I_{OUT}}, con V_T/R_E = 12{,}95 µA.

Partendo da 50 µA: 12{,}95\cdot\ln 20 = 38{,}8 µA. Poi 12{,}95\cdot\ln(1000/38{,}8) = 12{,}95\cdot 3{,}249 = 42{,}1 µA. Poi 12{,}95\cdot\ln(1000/42{,}1) = 12{,}95\cdot 3{,}168 = 41{,}0 µA. Poi 12{,}95\cdot\ln(1000/41{,}0) = 41{,}4 µA. Poi 41,3 µA: la soluzione è circa 41,3 µA.

Controllo: 0{,}0259\cdot\ln(1000/41{,}3) = 0{,}0826 V e 41{,}3\,\mu\text{A}\cdot 2\,\text{k} = 0{,}0826 V. Le iterazioni oscillano attorno alla soluzione restringendosi, come previsto da una derivata negativa e minore di 1 in modulo.

Esercizio 7. Il transistor di aiuto

Con transistor di \beta = 50 e I_{REF} = 1 mA, confronta la corrente d’uscita dello specchio semplice e di quello con transistor di aiuto.

Specchio di corrente con transistor di aiuto
Q3, a inseguitore di emettitore, fornisce le correnti di base di Q1 e Q2 prendendole dall’alimentazione: dal ramo di riferimento esce solo la piccola corrente di base di Q3.

Risultato: semplice 0,962 mA (errore 3,8 %); con aiuto 0,999 22 mA (errore 0,078 %).

Soluzione

Specchio semplice: I_{OUT} = 1/(1 + 2/50) = 1/1{,}04 = 0{,}962 mA.

Con transistor di aiuto (approfondimento): I_{OUT} = 1/\left(1 + \dfrac{2}{50\cdot 51}\right) = 1/1{,}000\,784 = 0{,}999\,22 mA.

L’errore si riduce di un fattore circa \beta + 1 = 51: con transistor di \beta basso, come i PNP laterali dei circuiti integrati, il transistor di aiuto è quasi indispensabile.

Esercizio 8. Lo specchio di Wilson

Uno specchio di Wilson con transistor di \beta = 100 e r_o = 100 kΩ. Calcola l’errore sul rapporto di copia e la resistenza d’uscita, e confrontali con quelli dello specchio semplice.

Specchio di Wilson
La corrente di riferimento entra nel collettore di Q1, che pilota la base di Q3. La corrente di emettitore di Q3 passa in Q2, collegato a diodo, che la copia in Q1 tramite le basi comuni: l’anello di retroazione rende la corrente d’uscita precisa e la resistenza d’uscita alta.

Risultato: errore 0,0196 % (semplice 2 %); R_{out} \approx 5 MΩ (semplice 100 kΩ).

Soluzione

Errore (approfondimento): 2/(\beta^2 + 2\beta + 2) = 2/10\,202 = 1{,}96\cdot 10^{-4}, cioè 0,0196 %, contro 2/\beta circa 2 % dello specchio semplice.

Resistenza d’uscita: \beta r_o/2 = 100\cdot 100\,\text{k}/2 = 5 MΩ, cinquanta volte quella dello specchio semplice (r_o = 100 kΩ).

Esercizio 9. Il cascode MOS

Uno specchio cascode MOS usa transistor con g_m = 1 mA/V e r_o = 50 kΩ, V_t = 0{,}5 V e V_{OV} = 0{,}2 V. Calcola la resistenza d’uscita e la tensione minima d’uscita nella versione semplice e a grande escursione.

Cascode MOS e suo circuito per piccoli segnali
A sinistra lo schema: M1 e M2 in serie con i gate a tensioni fisse. A destra il circuito equivalente con la corrente di prova i: r o1 porta il source di M2 a v s, e la tensione gate-source di M2 vale meno v s.

Risultato: R_{out} \approx 2{,}6 MΩ; tensione minima 0,9 V (semplice) e 0,4 V (grande escursione).

Soluzione

Resistenza (approfondimento): R_{out} = r_{o1} + r_{o2} + g_mr_{o2}r_{o1} = 50\,\text{k} + 50\,\text{k} + 10^{-3}\cdot 50\,\text{k}\cdot 50\,\text{k} = 0{,}1 + 2{,}5 = 2{,}6 MΩ, cinquanta volte quella di un singolo transistor.

Tensione minima: semplice V_t + 2V_{OV} = 0{,}5 + 0{,}4 = 0{,}9 V; grande escursione 2V_{OV} = 0{,}4 V.

Livello esame

Esercizio 10. Polarizzazione di un circuito con uno specchio a più uscite

Uno specchio bipolare a più uscite è alimentato a 5 V; il riferimento è fissato da un resistore. Le uscite devono avere correnti nei rapporti 1, 2 e 4 rispetto al transistor di riferimento, che deve condurre 0,5 mA. Con \beta = 100:

  1. dimensiona il resistore di riferimento trascurando le correnti di base;
  2. calcola le correnti effettive tenendo conto delle correnti di base;
  3. calcola l’errore che si avrebbe aggiungendo un transistor di aiuto.
Specchio bipolare a più uscite
Un transistor di riferimento collegato a diodo e tre uscite con aree d’emettitore 1, 2 e 4 volte la sua: le correnti di collettore stanno negli stessi rapporti, e tutte le correnti di base pesano sul ramo di riferimento.

Risultato: R = 8{,}6 kΩ; uscite 0,463, 0,926, 1,852 mA (errore 7,4 %); con il transistor di aiuto errore circa 0,08 %.

Soluzione

1. R = (5 - 0{,}7)/0{,}5\,\text{mA} = 8{,}6 kΩ, che dà I_{REF} = 0{,}5 mA.

2. I transistor hanno aree in rapporto 1 (riferimento), 1, 2, 4. Le correnti di collettore sono I_C, I_C, 2I_C, 4I_C, e le correnti di base in tutto (1 + 1 + 2 + 4)I_C/\beta = 8I_C/\beta. Al nodo di riferimento I_{REF} = I_C(1 + 8/\beta) = 1{,}08\,I_C, quindi I_C = 0{,}463 mA. Uscite: 0,463, 0,926 e 1,852 mA, tutte il 7,4 % sotto il valore voluto.

3. Con il transistor di aiuto le correnti di base 8I_C/\beta vengono fornite dal suo emettitore, e dal riferimento si preleva solo 8I_C/(\beta(\beta + 1)): I_{REF} = I_C(1 + 8/10\,100), errore 7{,}9\cdot 10^{-4}, circa 0,08 %. Gli specchi a molte uscite richiedono quasi sempre il transistor di aiuto.

Esercizio 11. Lo stadio con carico attivo

Un amplificatore a emettitore comune è polarizzato a I_C = 1 mA ed ha come carico uno specchio PNP che fornisce la stessa corrente. Entrambi i transistor hanno V_A = 100 V. Calcola il guadagno di tensione a vuoto e confrontalo con quello che si avrebbe con un resistore di carico da 5 kΩ.

Risultato: circa -1930 (66 dB) con il carico attivo; -193 (46 dB) con il resistore.

Soluzione

g_m = I_C/V_T = 1/25{,}9 = 38{,}6 mA/V. Le due resistenze d’uscita sono r_o = 100/1\,\text{mA} = 100 kΩ ciascuna.

Con il carico attivo il collettore vede in parallelo r_{o,npn} e r_{o,pnp}: 50 kΩ. Guadagno A_v = -g_m\cdot 50\,\text{k} \approx -1930, cioè 66 dB.

Con un resistore da 5 kΩ (in parallelo a r_o, quasi trascurabile): A_v \approx -38{,}6\cdot 5 = -193, 46 dB. Per ottenere lo stesso guadagno con un resistore servirebbero 50 kΩ, con una caduta di 50 V a 1 mA: impossibile con alimentazioni normali. Lo specchio dà una resistenza alta per i piccoli segnali e una caduta piccola in continua.

Esercizio 12. La sensibilità all’alimentazione

Il riferimento di uno specchio è ottenuto con un resistore dall’alimentazione V_{CC} = 5 V. Calcola la sensibilità della corrente all’alimentazione, S = \dfrac{\Delta I/I}{\Delta V_{CC}/V_{CC}}, e la variazione di corrente se l’alimentazione aumenta del 10 %. Che soluzione si usa nei circuiti integrati?

Risultato: S \approx 1{,}16; la corrente aumenta di circa l’11,6 %.

Soluzione

I = (V_{CC} - V_{BE})/R, quindi dI/dV_{CC} = 1/R e

    \[ S = \frac{V_{CC}}{I}\cdot\frac{dI}{dV_{CC}} = \frac{V_{CC}}{V_{CC} - V_{BE}} = \frac{5}{4{,}3} = 1{,}16 \]

Un aumento del 10 % (0,5 V) porta la corrente da 4{,}3/R a 4{,}8/R: +11,6 %, più dell’alimentazione stessa.

Nei circuiti integrati si usano riferimenti autopolarizzati, nei quali la corrente è fissata da una differenza di V_{BE} su un resistore, V_T\ln N/R, indipendente dall’alimentazione (lezione, ultima sezione); combinati con una V_{BE} danno il riferimento bandgap.

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