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Luogo delle radici, approfondimento: le regole dimostrate, casi difficili, MATLAB e Python

Condizioni di fase e di modulo, dimostrazione di tutte le regole, luogo circolare con uno zero, angoli di partenza, processo instabile in anello aperto, luogo rispetto a un parametro, esempi in MATLAB e Python verificati.

ielettronica 25 ottobre 2026 8 min di lettura 1 commento

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Questa pagina approfondisce la lezione sul luogo delle radici. Lì le regole di tracciamento sono enunciate; qui sono dimostrate una per una, a partire dalla condizione di fase. Poi si studiano i casi che negli esercizi creano difficoltà: gli angoli di partenza dai poli complessi, il luogo circolare di un sistema con uno zero, il processo instabile in anello aperto, il luogo rispetto a un parametro diverso dal guadagno. In fondo ci sono gli esempi in MATLAB e in Python, con il codice verificato.

Notazione: $L(s) = K\,\frac{N(s)}{D(s)}$ , con $N$ monico di grado $m$ e zeri $z_i$ , $D$ monico di grado $n \ge m$ e poli $p_i$ ; i poli dell’anello chiuso sono le radici di $D(s) + KN(s) = 0$ , per $K \ge 0$ .

Le regole, dimostrate

Condizioni di fase e di modulo. $D + KN = 0$ equivale a $\frac{N(s)}{D(s)} = -\frac{1}{K}$ , un numero reale negativo. Un numero complesso è reale negativo se e solo se il suo argomento è $180°$ (a meno di multipli di $360°$ ). Poiché $\arg\frac{N}{D} = \sum\arg(s - z_i) - \sum\arg(s - p_i)$ , si ottiene la condizione di fase; il modulo dà il valore di $K$ . Ogni regola che segue è una conseguenza di queste due.

Regola 1 (simmetria). $D$ e $N$ hanno coefficienti reali, quindi le radici complesse di $D + KN$ vengono a coppie coniugate: il luogo è simmetrico rispetto all’asse reale.

Regola 2 (partenza e arrivo). Il polinomio $D + KN$ ha grado $n$ per ogni $K$ : ci sono $n$ rami. Per $K \to 0$ l’equazione diventa $D = 0$ : i rami partono dai poli. Dividendo per $K$ , $\frac{D}{K} + N = 0$ : per $K \to \infty$ $m$ radici tendono agli zeri. Le altre $n - m$ devono andare all’infinito, perché un polinomio di grado $n$ ha $n$ radici e solo $m$ possono restare al finito.

Regola 3 (asse reale). Per $s$ reale, ogni polo o zero reale a sinistra di $s$ contribuisce un angolo 0°, ogni polo o zero reale a destra 180°, e una coppia complessa contribuisce angoli opposti che si annullano. La somma è $180°\cdot(\text{numero di poli e zeri reali a destra})$ , e vale $180°$ modulo $360°$ se e solo se quel numero è dispari.

Regola 4 (asintoti e baricentro). Per $|s|$ grande,

$\frac{D(s)}{N(s)} = s^{n-m}\cdot\frac{1 - \frac{\sum p_i}{s} + \cdots}{1 - \frac{\sum z_i}{s} + \cdots} = s^{n-m}\left(1 - \frac{\sum p_i - \sum z_i}{s} + O(s^{-2})\right) \approx \left(s - \sigma_a\right)^{n-m}$

con $\sigma_a = \frac{\sum p_i - \sum z_i}{n - m}$ , perché $(s - \sigma_a)^{n-m} = s^{n-m}\left(1 - \frac{(n - m)\sigma_a}{s} + \cdots\right)$ (si usano i coefficienti di $D$ e $N$ : il secondo coefficiente di un polinomio monico è meno la somma delle radici). L’equazione del luogo diventa $(s - \sigma_a)^{n-m} = -K$ : $s = \sigma_a + K^{1/(n-m)}e^{i\frac{180° + k\cdot 360°}{n - m}}$ . Sono semirette che partono da $\sigma_a$ con gli angoli della lezione. ∎

Regola 5 (diramazione). Dove due rami si incontrano, $D + KN$ ha una radice doppia $s_0$ : $D(s_0) + KN(s_0) = 0$ e $D'(s_0) + KN'(s_0) = 0$ . Eliminando $K$ : $D'N - DN' = 0$ , che è il numeratore di $\frac{d}{ds}\frac{D}{N}$ . Equivalentemente, sul tratto reale del luogo $K(s) = -\frac{D(s)}{N(s)}$ , e il punto di diramazione è un massimo (o minimo) di $K$ : lì due radici reali si fondono e diventano complesse. ∎

Regola 6 (angoli di partenza). Vicino a un polo $p_j$ , tutti i fattori tranne $s - p_j$ hanno argomento quasi costante, uguale al valore in $p_j$ . La condizione di fase dà allora la direzione di partenza:

$\theta_{p_j} = 180° + \sum_i\arg(p_j - z_i) - \sum_{i \ne j}\arg(p_j - p_i)$

e allo stesso modo l’angolo di arrivo a uno zero $\theta_{z_j} = 180° - \sum_{i \ne j}\arg(z_j - z_i) + \sum_i\arg(z_j - p_i)$ .

Regola 7 (somma dei poli). Se $n - m \ge 2$ , il coefficiente di $s^{n-1}$ in $D + KN$ non dipende da $K$ (perché $KN$ ha grado al massimo $n - 2$ ), quindi la somma dei poli dell’anello chiuso è costante. Se una coppia va verso destra, un altro ramo deve andare a sinistra di pari misura: è un controllo molto utile sui disegni.

Regola 8 (asse immaginario). I punti di attraversamento sono le soluzioni di $D(i\omega) + KN(i\omega) = 0$ : uguagliando a zero parte reale e parte immaginaria si ottengono $\omega$ e $K$ . È la stessa informazione della riga nulla nella tabella di Routh.

Asintoti di un luogo con quattro poli — Per K su s per s più 1 per s più 3 per s più 4 i quattro asintoti, tratteggiati, partono dal baricentro meno 2 con angoli di 45, 135, 225 e 315 gradi. I rami si staccano dall’asse reale nei punti di diramazione e si avvicinano agli asintoti.

Uno zero e un luogo circolare

$L(s) = K\,\frac{s + 3}{s(s + 1)}$

Asse reale: il tratto tra 0 e $-1$ e tutto quello a sinistra di $-3$ . Diramazioni: $\frac{d}{ds}\frac{s(s + 1)}{s + 3} = 0$ dà $s^2 + 6s + 3 = 0$ , cioè $s = -0{,}551$ (con $K = 0{,}101$ ) e $s = -5{,}449$ (con $K = 9{,}90$ ).

Teorema. La parte complessa del luogo è la circonferenza di centro $-3$ (lo zero) e raggio $\sqrt 6$ .

Dimostrazione. Con $s = x + iy$ , l’equazione $s^2 + (1 + K)s + 3K = 0$ ha radici complesse $x = -\frac{1 + K}{2}$ , $y^2 = 3K - x^2$ . Da $K = -2x - 1$ : $y^2 = -6x - 3 - x^2$ , cioè $(x + 3)^2 + y^2 = 6$ . ∎

In generale, con due poli e uno zero reali il luogo è sempre una circonferenza centrata nello zero, di raggio uguale alla media geometrica delle distanze dello zero dai due poli (qui $\sqrt{3\cdot 2} = \sqrt 6$ ). Lo zero “attira” i rami e li tiene nel semipiano sinistro per ogni $K$ : è l’effetto di un’azione derivativa (rete anticipatrice o PD).

Luogo delle radici di K per s più 3 fratto s per s più 1 — I rami partono dai poli 0 e meno 1, si staccano dall’asse in meno 0,55, descrivono una circonferenza attorno allo zero in meno 3 e si ricongiungono sull’asse in meno 5,45; poi uno va verso lo zero e l’altro verso meno infinito.

Poli complessi: l’angolo di partenza

$L(s) = \frac{K}{(s + 3)(s^2 + 2s + 2)}$

Poli in $-3$ e $-1 \pm i$ . Angolo di partenza da $p = -1 + i$ : $\arg(p + 3) = \arg(2 + i) = 26{,}6°$ ; $\arg(p - \bar p) = \arg(2i) = 90°$ . Quindi $\theta = 180° - 26{,}6° - 90° = 63{,}4°$ : il ramo parte verso l’alto e a destra, e attraversa l’asse immaginario.

Attraversamento: $(s + 3)(s^2 + 2s + 2) = s^3 + 5s^2 + 8s + 6$ . Con $s = i\omega$ : parte reale $-5\omega^2 + 6 + K = 0$ , parte immaginaria $-\omega^3 + 8\omega = 0$ . Quindi $\omega = \sqrt 8 = 2{,}83$ e $K = 34$ . Asintoti: baricentro $\frac{-3 - 2}{3} = -1{,}67$ , angoli $\pm 60°$ e $180°$ .

Luogo con una coppia di poli complessi — Dai poli meno 1 più o meno i i rami partono con un angolo di circa 63 gradi, salgono verso destra e attraversano l’asse immaginario per K uguale a 34, in più o meno i per 2,83.

Un processo instabile in anello aperto

$L(s) = K\,\frac{s + 1}{s(s - 2)}$

Il polo in $+2$ rende il processo instabile da solo. Equazione caratteristica: $s^2 + (K - 2)s + K = 0$ . Con il criterio di Routh (secondo ordine: tutti i coefficienti positivi) l’anello chiuso è stabile per $K \gt 2$ . Il luogo lo mostra: i rami partono da 0 e da 2, si incontrano sull’asse reale tra i due poli, descrivono un cerchio attorno allo zero in $-1$ (centro $-1$ , raggio $\sqrt{1\cdot 3} = \sqrt 3$ ) e attraversano l’asse immaginario in $\pm i\sqrt 2$ per $K = 2$ .

È la situazione tipica di un pendolo inverso, di un levitatore magnetico o di un aereo da caccia instabile per progetto: la retroazione deve avere un guadagno minimo, e un guasto del controllo è catastrofico.

Luogo di un processo instabile — I rami partono dal polo nell’origine e da quello instabile in 2, si incontrano tra i due, girano attorno allo zero in meno 1 ed entrano nel semipiano sinistro quando K supera 2.

Il luogo rispetto a un altro parametro

Il metodo funziona per qualunque parametro che compaia linearmente nell’equazione caratteristica. Si vuole sapere come si spostano i poli di $s^2 + as + 4 = 0$ al variare dello smorzamento $a$ . Si riscrive l’equazione come

$1 + a\,\frac{s}{s^2 + 4} = 0$

che è un luogo delle radici con “guadagno” $a$ , poli in $\pm 2i$ e uno zero in 0. Il luogo è una circonferenza di raggio 2 centrata nell’origine (i poli hanno modulo $\sqrt 4 = 2$ finché sono complessi): lo smorzamento cambia l’angolo dei poli ma non la pulsazione naturale $\omega_n = 2$ . Per $a = 4$ i poli coincidono in $-2$ (smorzamento critico).

Luogo delle radici rispetto al coefficiente di smorzamento — Al crescere di a i poli partono da più e meno 2 i, scendono lungo una semicirconferenza di raggio 2, si incontrano in meno 2 per a uguale a 4 e poi si separano sull’asse reale.

Il luogo in MATLAB e in Python

Il luogo dell’esempio della lezione, $\frac{K}{s(s + 2)(s + 4)}$ , con la ricerca del guadagno che dà smorzamento 0,5.

MATLAB (Control System Toolbox):

G = tf(1, [1 6 8 0]);          % G(s) = 1/(s(s+2)(s+4))
rlocus(G); sgrid(0.5, [])      % luogo e retta di smorzamento 0,5
[K, poli] = rlocfind(G)        % clic sul punto voluto del luogo
T = feedback(8.3*G, 1); stepinfo(T)

Python (librerie gratuite numpy e python-control):

import numpy as np
import control as ct

G = ct.tf([1], [1, 6, 8, 0])            # G(s) = 1/(s(s+2)(s+4))
rlist, klist = ct.root_locus(G, plot=False)

# guadagno per cui la coppia dominante ha smorzamento 0,5
for K in np.linspace(0.5, 47, 50000):
    p = np.roots([1, 6, 8, K])
    c = p[np.argmax(p.imag)]
    if c.imag > 0 and -c.real / abs(c) <= 0.5:
        print(f"K = {K:.2f}, poli = {np.round(p, 3)}")
        break

# guadagno critico: radici sull'asse immaginario
print(np.roots([1, 6, 8, 48]))
T = ct.feedback(8.3 * G, 1)
print(ct.step_info(T)["Overshoot"])

L’esecuzione stampa $K = 8{,}30$ con poli $-4{,}667$ e $-0{,}667 \pm 1{,}155i$ , poi le radici $-6$ e $\pm 2{,}828i$ per $K = 48$ , e infine una sovraelongazione del 15,5 %: un po’ meno del 16,3 % di un secondo ordine puro con $\zeta = 0{,}5$ , per l’effetto del terzo polo in $-4{,}67$ , che smorza leggermente la risposta. Con plot=True (o con ct.root_locus_plot nelle versioni più recenti della libreria) si ottiene il disegno con matplotlib.

Il guadagno per uno smorzamento assegnato — La retta tratteggiata verde corrisponde a smorzamento 0,5; il luogo la interseca per K uguale a 8,3, dove i poli dominanti sono meno 0,67 più o meno 1,15 i e il terzo polo è in meno 4,67.

Gli esercizi, con tutti i casi di questa pagina, sono nella pagina degli esercizi collegata in cima.

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ielettronica

13 ore fa

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Uno zero e un luogo circolare

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Un processo instabile in anello aperto

Il luogo rispetto a un altro parametro

Il luogo in MATLAB e in Python

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