Spazio degli stati: retroazione dello stato e osservatori
Equazioni di stato e legame con la funzione di trasferimento, retroazione dello stato e assegnamento dei poli sul pendolo inverso, controllabilità, LQR, osservatori e filtro di Kalman.
Le funzioni di trasferimento descrivono il legame tra un ingresso e un’uscita. Molti sistemi però hanno più ingressi e più uscite, e il loro stato interno conta: un drone ha quattro motori e sei gradi di libertà, un pendolo inverso su carrello va controllato guardando insieme posizione, angolo e velocità. La rappresentazione nello spazio degli stati descrive il sistema con un insieme di equazioni del primo ordine e permette di progettare controllori che usano tutte le grandezze interne. In questa lezione vediamo le equazioni di stato, la controllabilità, la retroazione dello stato con l’assegnamento dei poli e gli osservatori.
Le equazioni di stato
Lo stato 
è l’insieme minimo di grandezze che, insieme agli ingressi futuri, determina tutta l’evoluzione futura: le posizioni e le velocità di un sistema meccanico, le tensioni dei condensatori e le correnti degli induttori di un circuito. Per un sistema lineare:
![\[ \dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + B\mathbf{u},\qquad \mathbf{y} = C\mathbf{x} + D\mathbf{u} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5bad3d2427b44a78b475111ef54b1974_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Esempio. Un’equazione differenziale di ordine 
si porta in questa forma scegliendo come stati l’uscita e le sue derivate. Per il pendolo inverso linearizzato attorno alla verticale, 
(con 
l’accelerazione di comando normalizzata), con 
e 
:
![\[ \dot{\mathbf{x}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ g/l & 0 \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}u \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2bfc8769c45ab99c76288f186ce7302f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il legame con la funzione di trasferimento. Trasformando con Laplace (condizioni iniziali nulle), 
, quindi
![\[ G(s) = C\,(sI - A)^{-1}B + D \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df0107af56d27fc2337d2116b6a09f45_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
I poli di 
sono gli autovalori di 
, radici di 
. Per il pendolo: 
, autovalori 
, uno positivo: il pendolo inverso è instabile, come ci si aspetta.
La retroazione dello stato
Se tutto lo stato è misurabile, si usa il comando 
, con 
una riga di guadagni. L’anello chiuso diventa
![\[ \dot{\mathbf{x}} = (A - BK)\,\mathbf{x} + B\,r \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df75a0d43f7d1a646506df03335bad48_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e i suoi poli sono gli autovalori di 
, che si possono scegliere con .
Esempio. Per il pendolo con 
s⁻² e 
:
![\[ A - BK = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 20 - k_1 & -k_2 \end{pmatrix},\qquad \det(sI - A + BK) = s^2 + k_2 s + (k_1 - 20) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8adcbe0d56dcae9823e8a8f0722c106d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Per avere poli con 
rad/s e 
, il polinomio desiderato è 
: quindi 
e 
. Il comando 
tiene il pendolo in piedi, con una retroazione sia sull’angolo sia sulla velocità angolare: è un controllore PD, ricavato in modo sistematico.
La controllabilità. I poli si possono assegnare a piacere se e solo se il sistema è controllabile, cioè se la matrice
![\[ \mathcal{C} = \begin{pmatrix} B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B \end{pmatrix} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6da5581d2b72a21db3b88761962030d6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ha rango . Significa che l’ingresso riesce a influenzare tutte le componenti dello stato. Nel pendolo 
, di rango 2.
Il pendolo inverso su carrello
Il caso classico dei laboratori di controlli, e il principio dei veicoli autobilancianti come il Segway: un solo ingresso (la forza sul carrello) deve controllare quattro stati (posizione e velocità del carrello, angolo e velocità angolare dell’asta). Il modello linearizzato è controllabile, e una retroazione dello stato con quattro guadagni riesce a tenere l’asta in piedi e a riportare il carrello nella posizione voluta. Un solo PID sull’angolo non basterebbe: terrebbe l’asta dritta, ma il carrello andrebbe alla deriva.
Per scegliere i poli non a caso si usa spesso il regolatore lineare quadratico (LQR), che calcola il che minimizza un costo del tipo 
: un compromesso esplicito tra precisione e sforzo del comando.
Gli osservatori
Spesso non tutto lo stato è misurabile: si misura l’angolo con un sensore, ma non la velocità angolare. Si costruisce allora un osservatore, un modello del sistema che gira in parallelo nel calcolatore e viene corretto con la differenza tra l’uscita misurata e quella prevista:
![\[ \dot{\hat{\mathbf{x}}} = A\hat{\mathbf{x}} + B\mathbf{u} + L(\mathbf{y} - C\hat{\mathbf{x}}) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ec9c68abe820be391b9753e51bfaae11_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
L’errore di stima 
soddisfa 
: scegliendo 
si rende la stima veloce quanto si vuole, purché il sistema sia osservabile (la condizione duale della controllabilità). Per il principio di separazione si possono progettare indipendentemente la retroazione e l’osservatore, e usare la retroazione sullo stato stimato. Il filtro di Kalman, usato nella navigazione di aerei, telefoni e droni per fondere i dati di accelerometri, giroscopi e GPS, è un osservatore progettato tenendo conto del rumore dei sensori.
