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Progettazione di Sistemi di Automazione

Dinamica del veicolo per le funzioni ADAS: pneumatici, modello a bicicletta, sottosterzo e dinamica longitudinale

Gradi di libertà secondo ISO 8855, scorrimento e angolo di deriva, rigidezza di deriva, modello a bicicletta, gradiente di sottosterzo e velocità caratteristica, resistenze all'avanzamento, e come li usano ACC, AEB, LKA ed ESC.

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Le funzioni di assistenza alla guida (ADAS: cruise control adattivo, mantenimento della corsia, frenata automatica d’emergenza, controllo di stabilità) sono sistemi di controllo automatico il cui “processo” è il veicolo. Per progettarle, tararle e provarle in simulazione serve un modello del veicolo: abbastanza semplice da poter essere analizzato e messo in una centralina, abbastanza fedele da prevedere il comportamento reale. Questa lezione presenta i modelli di base: le forze scambiate dagli pneumatici, il modello a bicicletta per la dinamica laterale, la dinamica longitudinale e il modo in cui le principali funzioni ADAS li usano. L’approfondimento collegato sviluppa i modelli completi, con le dimostrazioni e il codice.

Sistemi di riferimento e gradi di libertà

Secondo la norma ISO 8855 il riferimento solidale al veicolo ha l’asse x in avanti, y a sinistra e z verso l’alto, con origine nel baricentro. Un veicolo rigido ha sei gradi di libertà: traslazioni longitudinale (avanzamento), laterale e verticale, e rotazioni di rollio (attorno a x), beccheggio (attorno a y) e imbardata (attorno a z). Per i problemi di guida su strada piana contano soprattutto tre: la velocità longitudinale v_x, la velocità laterale v_y e la velocità di imbardata r = \dot\psi. Il loro rapporto definisce l’angolo di assetto (o di deriva del veicolo) \beta = \arctan(v_y/v_x): l’angolo tra la direzione in cui il veicolo punta e quella in cui si muove.

Lo pneumatico: tutte le forze passano da lì

Le uniche forze orizzontali che spingono, frenano e fanno curvare un’auto (a parte l’aria) nascono nelle quattro impronte di contatto, ciascuna grande come una cartolina. Uno pneumatico produce forza solo se scorre un poco rispetto alla strada:

  • in direzione longitudinale lo scorrimento \lambda = \frac{\omega R_e - v_x}{v_x} (in trazione; in frenata si divide per la velocità della ruota): la ruota gira un po’ più in fretta o un po’ più piano di quanto “dovrebbe”;
  • in direzione laterale l’angolo di deriva \alpha: l’angolo tra la direzione in cui la ruota punta e quella in cui si muove il suo centro.

Per scorrimenti piccoli la forza è proporzionale: F_y = C_\alpha\,\alpha, con C_\alpha la rigidezza di deriva (tipicamente 50-100 kN/rad per ruota di un’auto). Per scorrimenti grandi la forza raggiunge un massimo, circa \mu F_z con \mu il coefficiente d’attrito (circa 1 su asfalto asciutto, 0,5 sul bagnato, 0,1-0,2 su neve e ghiaccio), e poi cala leggermente. Le curve misurate si descrivono con la formula magica di Pacejka (approfondimento).

Forza laterale dello pneumatico in funzione dell'angolo di deriva
Per angoli piccoli la forza cresce linearmente, tratteggiato grigio, con pendenza uguale alla rigidezza di deriva; poi satura a un valore circa uguale al coefficiente d’attrito per il carico verticale. Con un carico maggiore, in verde, la forza massima cresce; con un attrito minore, arancione tratteggiato, si dimezza.

Il modello a bicicletta

Per studiare la curva a velocità costante si riuniscono le due ruote di ciascun asse in una sola, al centro: il veicolo diventa una “bicicletta” con una ruota anteriore sterzante (angolo \delta) e una posteriore. Con a e b le distanze del baricentro dagli assi, m la massa, I_z il momento d’inerzia di imbardata, C_f e C_r le rigidezze di deriva degli assi, e nell’ipotesi di angoli piccoli e velocità v costante, gli angoli di deriva valgono

    \[ \alpha_f = \delta - \frac{v_y + a\,r}{v},\qquad \alpha_r = -\frac{v_y - b\,r}{v} \]

e le equazioni di Newton e dei momenti danno

    \[ m(\dot v_y + v\,r) = C_f\alpha_f + C_r\alpha_r,\qquad I_z\dot r = a\,C_f\alpha_f - b\,C_r\alpha_r \]

Un sistema lineare del secondo ordine con ingresso \delta e stato (v_y, r): si analizza con gli strumenti di Controlli automatici (funzione di trasferimento, poli, risposta al gradino). Il termine m\,v\,r è l’accelerazione centripeta dovuta alla rotazione del riferimento.

Il modello a bicicletta visto dall'alto
La ruota anteriore è sterzata dell’angolo delta; il baricentro dista a dall’asse anteriore e b da quello posteriore. Il veicolo si muove con velocità v, che forma l’angolo di assetto beta con l’asse longitudinale, e ruota con velocità di imbardata r. Le ruote si muovono con le velocità v f e v r, diverse dalla direzione in cui puntano: gli angoli tra le due sono le derive, che generano le forze laterali F yf e F yr.

Sottosterzo e sovrasterzo

A regime, in una curva di raggio R percorsa con accelerazione laterale a_y = v^2/R, il modello dà l’angolo di sterzo necessario:

    \[ \delta = \frac{L}{R} + K_{us}\,a_y,\qquad K_{us} = \frac{m}{L}\left(\frac{b}{C_f} - \frac{a}{C_r}\right) \]

con L = a + b il passo. L/R è l’angolo “geometrico” (di Ackermann) che servirebbe a velocità bassissima; K_{us} è il gradiente di sottosterzo:

  • K_{us} \gt 0, veicolo sottosterzante: più va forte, più bisogna sterzare per la stessa curva. È il comportamento voluto in tutte le auto di serie, perché è stabile e il guidatore lo percepisce come “la macchina tende ad allargare”;
  • K_{us} = 0, neutro;
  • K_{us} \lt 0, sovrasterzante: oltre una velocità critica v_{crit} = \sqrt{L/|K_{us}|} il veicolo diventa instabile e tende a girarsi (testacoda).

Per un veicolo sottosterzante il guadagno di imbardata a regime \frac{r}{\delta} = \frac{v}{L + K_{us}v^2} ha un massimo alla velocità caratteristica v_{ch} = \sqrt{L/K_{us}}: per un’auto media è intorno a 70-100 km/h.

Guadagno di imbardata in funzione della velocità
Per il veicolo sottosterzante, in blu, il guadagno cresce fino alla velocità caratteristica e poi diminuisce; per il neutro, tratteggiato, cresce linearmente; per il sovrasterzante, in rosso, tende all’infinito alla velocità critica.

La dinamica longitudinale

Lungo x, la forza di trazione (o di frenata) F_x che gli pneumatici scambiano con la strada vince le resistenze:

    \[ m\,\dot v = F_x - \underbrace{f\,m\,g}_{\text{rotolamento}} - \underbrace{\tfrac{1}{2}\rho\,C_d\,A\,v^2}_{\text{aerodinamica}} - \underbrace{m\,g\sin\theta}_{\text{pendenza}} \]

con f \approx 0{,}01 il coefficiente di resistenza al rotolamento, \rho = 1{,}2 kg/m³ la densità dell’aria, C_dA l’area di resistenza (circa 0,6-0,7 m² per un’auto). La resistenza aerodinamica cresce con il quadrato della velocità e la potenza necessaria con il cubo: è il motivo per cui il consumo in autostrada sale così in fretta. In frenata la decelerazione massima è circa \mu g, limitata dall’aderenza e dal trasferimento di carico verso l’asse anteriore.

Resistenze all'avanzamento in funzione della velocità
La resistenza al rotolamento, arancione, è circa costante; quella aerodinamica, blu, cresce con il quadrato della velocità e diventa prevalente sopra i 20 metri al secondo; la rossa è la somma.

Come li usano le funzioni ADAS

  • ACC, cruise control adattivo: usa la dinamica longitudinale. Un radar misura distanza e velocità del veicolo che precede; il controllo regola la velocità mantenendo una distanza che cresce con la velocità, d = d_0 + h\,v, con un tempo di distacco (in inglese *time gap*) h di 1-2 s.
  • AEB, frenata automatica d’emergenza: calcola il tempo alla collisione TTC = d/v_{rel} e, sotto una soglia, avvisa e poi frena; serve conoscere la decelerazione massima ottenibile.
  • LKA, mantenimento della corsia: usa il modello a bicicletta scritto in coordinate di errore rispetto alla corsia (scostamento laterale e angolo d’imbardata relativo) e applica una coppia al volante.
  • ESC, controllo elettronico di stabilità: confronta la velocità d’imbardata misurata con quella “di riferimento” data dal modello a bicicletta, limitata dall’aderenza (|r| \le \mu g/v); se il veicolo sovrasterza o sottosterza troppo, frena una singola ruota per creare un momento correttivo.
  • Pianificazione della traiettoria e guida autonoma: a bassa velocità si usa il modello cinematico (senza derive), con algoritmi come il pure pursuit.

L’approfondimento collegato ricava il modello a bicicletta con tutti i passaggi, il modello dello pneumatico di Pacejka, i trasferimenti di carico e i controlli ADAS, con le simulazioni in Python; gli esercizi sono nella pagina collegata.

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