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Fisica 1

Le leggi di Newton: forze, attrito, piano inclinato e moto circolare

I tre principi della dinamica, peso, reazione normale, tensione, attrito e forza elastica, il diagramma di corpo libero, piano inclinato, macchina di Atwood, auto in curva e forze apparenti.

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La cinematica dice come si muove un corpo, la dinamica spiega perché. Tutto si regge su tre principi enunciati da Newton nel 1687, che bastano per progettare un ponte, mandare una sonda su Marte o calcolare la forza su un disco che gira. In questa lezione li vediamo uno per uno, poi passiamo alle forze più comuni e al metodo per risolvere i problemi.

I tre principi della dinamica

Primo principio (inerzia). Un corpo su cui non agiscono forze, o su cui la somma delle forze è nulla, resta in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme. I sistemi di riferimento in cui questo vale si chiamano inerziali. Un’auto che frena non lo è: i passeggeri vengono spinti in avanti senza che nessuna forza reale li spinga.

Secondo principio. In un sistema inerziale, la somma delle forze applicate a un corpo è uguale alla massa per l’accelerazione:

    \[ \sum\vec F = m\,\vec a \]

È un’equazione vettoriale: vale separatamente per ogni componente, \sum F_x = m\,a_x, \sum F_y = m\,a_y. La massa misura l’inerzia, cioè quanto un corpo si oppone a cambiare velocità. L’unità di forza è il newton: 1\ \text{N} accelera di 1\ \text{m/s}^2 una massa di 1\ \text{kg}.

Terzo principio (azione e reazione). Se il corpo A esercita una forza su B, B esercita su A una forza uguale e opposta. Le due forze agiscono su corpi diversi, quindi non si annullano mai tra loro: il razzo spinge i gas indietro, i gas spingono il razzo in avanti.

Le forze più comuni

  • Peso: \vec P = m\vec g, diretto verso il basso. È la forza di gravità della Terra vicino alla superficie.
  • Reazione vincolare normale \vec N: la forza con cui una superficie spinge un corpo appoggiato, perpendicolare alla superficie. Non è sempre uguale al peso.
  • Tensione \vec T: la forza trasmessa da una fune tesa, diretta lungo la fune. Una fune ideale (senza massa, inestensibile) trasmette la stessa tensione da un capo all’altro.
  • Attrito radente: si oppone allo strisciamento. Quello statico vale al massimo f_s \le \mu_s N e impedisce al corpo di partire; quello dinamico vale f_d = \mu_d N e frena un corpo che già scivola. Di solito \mu_d \lt \mu_s: spingere un mobile è più faticoso all’inizio.
  • Forza elastica: una molla allungata o compressa di x esercita F = -k\,x (legge di Hooke), opposta alla deformazione.

Il metodo: il diagramma di corpo libero

Quasi tutti i problemi di dinamica si risolvono con gli stessi passi:

  1. si isola il corpo e si disegnano solo le forze che agiscono su di esso;
  2. si sceglie un sistema di assi comodo, di solito con un asse lungo la direzione del moto;
  3. si scompongono le forze lungo gli assi;
  4. si scrive \sum F = m\,a per ogni asse e si risolve il sistema.

Il piano inclinato

Un blocco di massa m è appoggiato su un piano inclinato di un angolo \theta. Conviene prendere l’asse x lungo il piano e l’asse y perpendicolare: così l’accelerazione ha una sola componente.

Diagramma di corpo libero di un blocco su un piano inclinato
Le forze sul blocco: il peso m\vec g, scomposto in mg\sin\theta lungo il piano e mg\cos\theta perpendicolare; la reazione normale \vec N; l’attrito f_a, opposto al moto verso il basso.

Dimostrazione: accelerazione lungo il piano

L’angolo tra il peso e la perpendicolare al piano è uguale a \theta (i lati sono rispettivamente perpendicolari a quelli dell’angolo del piano). Quindi le componenti del peso sono mg\sin\theta lungo il piano e mg\cos\theta verso il piano.

Lungo y il blocco non si muove: N - mg\cos\theta = 0, quindi N = mg\cos\theta. La reazione normale è minore del peso, e l’attrito dinamico vale f_d = \mu_d\, mg\cos\theta.

Lungo x, con il verso positivo in discesa:

    \[ m\,a = mg\sin\theta - \mu_d\,mg\cos\theta \quad\Rightarrow\quad a = g\,(\sin\theta - \mu_d\cos\theta) \]

La massa si semplifica: un blocco pesante e uno leggero dello stesso materiale scivolano con la stessa accelerazione. Senza attrito a = g\sin\theta.

Come si misura il coefficiente d’attrito statico

Il blocco resta fermo finché mg\sin\theta \le \mu_s\,mg\cos\theta, cioè finché \tan\theta \le \mu_s. Inclinando lentamente il piano e annotando l’angolo \theta_c al quale il blocco parte, si misura \mu_s = \tan\theta_c. Con gomma su asfalto asciutto \mu_s è vicino a 1, con acciaio su acciaio lubrificato scende sotto 0,1.

Due corpi collegati: la macchina di Atwood

Due masse m_1 \lt m_2 sono appese ai capi di una fune che passa su una carrucola senza massa e senza attrito. La tensione T è la stessa sui due lati e le due masse hanno la stessa accelerazione a (la fune è inestensibile), m_2 verso il basso e m_1 verso l’alto:

    \[ m_2 g - T = m_2 a,\qquad T - m_1 g = m_1 a \]

Sommando le due equazioni la tensione sparisce:

    \[ a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\,g,\qquad T = \frac{2m_1 m_2}{m_1 + m_2}\,g \]

Con masse quasi uguali l’accelerazione diventa piccola e facile da misurare: è così che nel Settecento si misurava g senza cronometri elettronici.

Dinamica del moto circolare

Nel moto circolare l’accelerazione centripeta v^2/r deve essere prodotta da una forza reale diretta verso il centro: la tensione di una fune, la gravità per un satellite, l’attrito degli pneumatici per un’auto in curva.

Esempio. Un’auto percorre una curva piana di raggio r = 50 m. La forza centripeta è l’attrito statico tra gomme e asfalto, al massimo \mu_s\,mg:

    \[ m\frac{v^2}{r} \le \mu_s\,mg \quad\Rightarrow\quad v_{max} = \sqrt{\mu_s\,g\,r} \]

Con \mu_s = 0{,}8 (asfalto asciutto) v_{max} = \sqrt{0{,}8\cdot 9{,}81\cdot 50} \approx 19{,}8 m/s, circa 71 km/h. Sul bagnato, con \mu_s \approx 0{,}4, si scende a 50 km/h. Anche qui la massa non compare.

Sistemi non inerziali e forze apparenti

In un sistema che accelera le leggi di Newton si possono ancora usare aggiungendo forze apparenti, che non sono esercitate da nessun corpo. In un sistema con accelerazione \vec A compare la forza -m\vec A: è quella che ti schiaccia sul sedile quando l’aereo decolla. In un sistema che ruota compare la forza centrifuga m\omega^2 r, diretta verso l’esterno: è il principio della centrifuga della lavatrice, e degli accelerometri MEMS degli smartphone, che misurano proprio la forza apparente su una minuscola massa sospesa.

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