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Fisica 1

Rotolamento puro, approfondimento: momenti d’inerzia, piano inclinato, attrito e boccia

Momenti d'inerzia di disco e sfera dimostrati, campo delle velocità, piano inclinato con le forze e attrito minimo, perché l'attrito statico non compie lavoro, passaggio dallo strisciamento al rotolamento, momenti rispetto al punto di contatto e centro di percussione.

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Questa pagina approfondisce la lezione sulla dinamica del corpo rigido, concentrandosi sul rotolamento puro, l’argomento in cui si sbaglia di più agli esami. Ricaviamo con tutti i passaggi i momenti d’inerzia del disco e della sfera, il campo delle velocità di un corpo che rotola, il moto sul piano inclinato con le forze invece che con l’energia, l’attrito minimo necessario, il perché l’attrito statico non compie lavoro, il passaggio dallo strisciamento al rotolamento di una boccia, e il metodo del momento rispetto al punto di contatto, con il problema del rocchetto tirato da un filo.

I momenti d’inerzia, dimostrati

Teorema. Un disco (o cilindro pieno) omogeneo di massa M e raggio R, rispetto al suo asse, ha I = \frac{1}{2}MR^2.

Dimostrazione. Si divide il disco in anelli di raggio r e spessore dr. Ogni anello ha tutta la massa alla distanza r dall’asse, quindi contribuisce r^2dm. Con densità superficiale \sigma = M/(\pi R^2), dm = \sigma\cdot 2\pi r\,dr:

    \[ I = \int_0^R r^2\,\sigma\,2\pi r\,dr = 2\pi\sigma\frac{R^4}{4} = \frac{\pi R^4}{2}\cdot\frac{M}{\pi R^2} = \frac{1}{2}MR^2 \]

∎

Teorema. Una sfera piena omogenea, rispetto a un diametro, ha I = \frac{2}{5}MR^2.

Dimostrazione. Si taglia la sfera in dischi perpendicolari all’asse, alla quota z e di spessore dz. Il disco ha raggio r = \sqrt{R^2 - z^2} e massa dm = \rho\pi r^2dz, e per il teorema precedente contribuisce \frac{1}{2}r^2dm = \frac{1}{2}\rho\pi(R^2 - z^2)^2dz. Integrando:

    \[ I = \frac{\rho\pi}{2}\int_{-R}^{R}(R^2 - z^2)^2dz = \frac{\rho\pi}{2}\left[R^4z - \frac{2R^2z^3}{3} + \frac{z^5}{5}\right]_{-R}^{R} = \frac{\rho\pi}{2}\cdot\frac{16R^5}{15} = \frac{8\pi\rho R^5}{15} \]

Con M = \frac{4}{3}\pi R^3\rho, cioè \rho\pi = 3M/(4R^3): I = \frac{8}{15}\cdot\frac{3M}{4R^3}R^5 = \frac{2}{5}MR^2. ∎

Conviene scrivere I = kMR^2: k = 1 per l’anello, 1/2 per il disco, 2/5 per la sfera piena, 2/3 per la sfera cava. Tutto il rotolamento dipende da k.

Il campo delle velocità

Un corpo rigido piano ha in ogni istante velocità \vec v_P = \vec v_{cm} + \vec\omega\times\vec r_P, dove \vec r_P è la posizione del punto rispetto al centro di massa. Nel rotolamento senza strisciamento il punto di contatto ha velocità nulla, e questo dà v_{cm} = \omega R. Ne segue che, istante per istante, il corpo ruota attorno al punto di contatto con velocità angolare \omega: ogni punto ha velocità perpendicolare alla congiungente con il contatto e proporzionale alla sua distanza. Il centro ha v_{cm}, la sommità 2v_{cm}, i punti a metà altezza sul bordo \sqrt{2}v_{cm} a 45°.

Campo delle velocità di una ruota che rotola senza strisciare
Il punto di contatto P è fermo e ogni punto della ruota si muove perpendicolarmente alla congiungente con P, con velocità proporzionale alla distanza da P. A destra il profilo lungo il diametro verticale: da zero in basso a due volte la velocità del centro in cima.

Il piano inclinato con le forze

La lezione ha trovato la velocità con la conservazione dell’energia. Con le equazioni del moto si ottengono anche l’accelerazione e la forza d’attrito.

Corpo che rotola su un piano inclinato
Sul corpo agiscono il peso M g nel centro, la reazione normale N e l’attrito statico f nel punto di contatto P, diretto verso l’alto lungo il piano. Il centro accelera di a verso il basso lungo il piano e il corpo ha accelerazione angolare alfa.

Teorema. Un corpo con I = kMR^2 che rotola senza strisciare su un piano inclinato di \theta ha

    \[ a = \frac{g\sin\theta}{1 + k},\qquad f = \frac{k}{1 + k}\,Mg\sin\theta \]

e il rotolamento è possibile solo se il coefficiente d’attrito statico soddisfa \mu_s \ge \dfrac{k}{1 + k}\tan\theta.

Dimostrazione. Lungo il piano, per il centro di massa: Ma = Mg\sin\theta - f. Rotazione attorno al centro di massa: l’unica forza con momento è l’attrito, con braccio R: I\alpha = fR. Vincolo di rotolamento: a = \alpha R, quindi f = I a/R^2 = kMa. Sostituendo nella prima: Ma(1 + k) = Mg\sin\theta, da cui a e quindi f. L’attrito statico non può superare \mu_sN = \mu_sMg\cos\theta: \frac{k}{1 + k}Mg\sin\theta \le \mu_sMg\cos\theta, da cui la condizione. ∎

Esempio. Una sfera piena su un piano a 30°: a = 4{,}905/1{,}4 = 3{,}50 m/s², e serve \mu_s \ge \frac{2}{7}\tan 30° = 0{,}165. Con meno attrito la sfera scivola mentre rotola, e l’analisi cambia (sezione sulla boccia). Un anello (k = 1) richiede di più: \mu_s \ge \frac{1}{2}\tan 30° = 0{,}289.

Perché l’attrito non compie lavoro

Nel rotolamento puro l’attrito è statico ed è applicato al punto di contatto. La potenza di una forza è il prodotto scalare della forza per la velocità del suo punto di applicazione: P = \vec f\cdot\vec v_P. Il punto di contatto ha velocità nulla, quindi P = 0 in ogni istante, e il lavoro è nullo. L’attrito non toglie energia: la ridistribuisce tra traslazione e rotazione, perché il suo momento fa girare il corpo mentre la sua forza ne rallenta il centro. Per questo nel rotolamento puro si può usare la conservazione dell’energia, e lo si può verificare: con l’accelerazione trovata, dopo un tratto s = h/\sin\theta si ha v^2 = 2as = 2gh/(1 + k), lo stesso risultato della lezione.

Dallo strisciamento al rotolamento: la boccia

Una boccia lanciata sulla pista parte strisciando: velocità v_0, velocità angolare quasi nulla. L’attrito dinamico \mu_kMg, opposto allo strisciamento, la rallenta e intanto la fa ruotare sempre più in fretta, finché v = \omega R: da lì rotola senza strisciare e l’attrito si annulla.

Teorema. La velocità finale di rotolamento è v_f = \dfrac{v_0}{1 + k}, indipendente dal coefficiente d’attrito.

Dimostrazione. Si sceglie come polo un punto fisso O sulla pista. L’attrito passa per la linea di contatto, quindi ha momento nullo rispetto a O; peso e reazione normale sono uguali e opposti e hanno momenti che si annullano. Il momento angolare rispetto a O si conserva. Per un corpo rigido vale L_O = Mv_{cm}R + I\omega (momento della quantità di moto del centro, con braccio R, più momento angolare attorno al centro). All’inizio L_O = Mv_0R; alla fine Mv_fR + kMR^2(v_f/R) = Mv_fR(1 + k). Uguagliando, v_f = v_0/(1 + k). ∎

Per la sfera, v_f = \frac{5}{7}v_0. L’energia dissipata durante lo strisciamento è \frac{1}{2}Mv_0^2 - \frac{1}{2}Mv_f^2(1 + k) = \frac{1}{2}Mv_0^2\frac{k}{1 + k}: per la sfera i 2/7 dell’energia iniziale. Il coefficiente d’attrito decide solo quanto tempo dura lo strisciamento (un esempio numerico completo è negli esercizi).

Velocità del centro e velocità periferica di una boccia che striscia
L’attrito dinamico, opposto allo strisciamento, fa diminuire linearmente la velocità del centro e aumentare linearmente omega per R. Quando le due rette si incontrano, all’istante t asterisco, la boccia rotola senza strisciare e da lì la velocità resta costante.

Il momento rispetto al punto di contatto

Un metodo potente: nel rotolamento puro si può scrivere l’equazione dei momenti rispetto al punto di contatto P, dove l’attrito e la reazione normale non danno momento:

    \[ \tau_P = I_P\,\alpha,\qquad I_P = I_{cm} + MR^2 = (1 + k)MR^2 \]

(teorema di Steiner, lezione). L’equazione vale perché il punto di contatto, pur cambiando nel tempo, sta sempre alla distanza R dal centro di massa e si muove parallelamente alla sua velocità: in questo caso i termini aggiuntivi che compaiono nell’equazione dei momenti rispetto a un punto mobile si annullano. Sul piano inclinato, Mg\sin\theta\cdot R = (1 + k)MR^2\,a/R dà subito a = g\sin\theta/(1 + k), senza calcolare l’attrito.

Esempio: il rocchetto tirato da un filo. Un cilindro pieno di massa M su un piano orizzontale è tirato da una forza orizzontale F applicata a un’altezza h sopra il punto di contatto (con un filo avvolto o un perno). Momenti rispetto a P: Fh = \frac{3}{2}MR^2\cdot a/R, quindi

    \[ a = \frac{2Fh}{3MR} \]

L’attrito si trova poi dall’equazione del centro di massa, f = Ma - F = F\left(\frac{2h}{3R} - 1\right) (positivo nel verso di F). Tirando dal centro (h = R) l’attrito è -F/3, all’indietro; tirando dalla sommità (h = 2R) è +F/3, in avanti, e l’accelerazione 4F/(3M) supera quella di un corpo che scivola senza attrito. L’attrito si annulla per h = \frac{3}{2}R: è il centro di percussione, il punto in cui un colpo fa rotolare il corpo senza strisciare, lo stesso che nel biliardo e nel tennis rende “pulito” un colpo.

Cilindro tirato da una forza orizzontale a due altezze diverse
A sinistra la forza è applicata al centro e l’attrito nel punto di contatto è diretto all’indietro; a destra è applicata alla sommità e l’attrito è diretto in avanti. Per h uguale a tre mezzi di R l’attrito si annulla.

Gli esercizi sull’argomento, dal livello base a quello d’esame, sono nella pagina degli esercizi collegata in cima.

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