Vai al contenuto
Fisica 1

Meccanica dei fluidi: Stevino, Pascal, Archimede e Bernoulli

Densità e pressione, legge di Stevino, principio di Pascal, spinta di Archimede e galleggiamento, equazione di continuità, equazione di Bernoulli con le sue applicazioni e viscosità.

5 min di lettura 0 commenti

Liquidi e gas non hanno una forma propria: scorrono. Per descriverli non si seguono i singoli pezzi, ma si usano grandezze definite punto per punto come densità, pressione e velocità. In questa lezione vediamo la statica dei fluidi (legge di Stevino, principi di Pascal e di Archimede) e la dinamica dei fluidi ideali (continuità e Bernoulli), con dimostrazioni che usano solo le leggi di Newton e la conservazione dell’energia.

Densità e pressione

La densità è la massa per unità di volume, \rho = m/V: l’acqua ha circa 1000 kg/m³, l’aria al livello del mare 1,2 kg/m³, il mercurio 13 600 kg/m³.

La pressione è la forza perpendicolare per unità di superficie, p = F/A, e si misura in pascal (Pa = N/m²). La pressione atmosferica al livello del mare vale circa 101 325 Pa, cioè 1 atm o 1,013 bar. In un fluido in quiete la pressione in un punto è la stessa in tutte le direzioni.

La legge di Stevino

Dimostrazione

Consideriamo, dentro un liquido in quiete di densità \rho, un cilindretto verticale di sezione A e altezza h. Le forze verticali su di esso sono la pressione sulla faccia superiore, p_1 A verso il basso, quella sulla faccia inferiore, p_2 A verso l’alto, e il peso del liquido, \rho A h\,g. Le forze laterali si annullano per simmetria. In equilibrio:

    \[ p_2 A = p_1 A + \rho\,A\,h\,g \quad\Rightarrow\quad p_2 = p_1 + \rho\,g\,h \]

La pressione cresce linearmente con la profondità e non dipende dalla forma del recipiente. In acqua aumenta di circa 1 atm ogni 10 m: a 10 m di profondità un sub sente il doppio della pressione che c’è in superficie.

Il barometro di Torricelli. Un tubo pieno di mercurio capovolto in una vaschetta scende fino a un’altezza h tale che \rho_{Hg}\,g\,h = p_{atm}: circa 760 mm. Da qui l’unità mmHg, ancora usata per la pressione del sangue.

Il principio di Pascal

Una variazione di pressione applicata a un fluido chiuso si trasmette invariata in ogni punto del fluido. Il torchio idraulico lo sfrutta: un pistone piccolo di area A_1 spinto con forza F_1 crea una pressione F_1/A_1 che agisce anche sul pistone grande di area A_2, con forza

    \[ F_2 = F_1\,\frac{A_2}{A_1} \]

Con un rapporto tra le aree di 100 si solleva un’auto con la forza necessaria per sollevare una valigia. Non si guadagna energia: il pistone piccolo deve percorrere uno spazio cento volte maggiore. È il principio dei freni idraulici e dei martinetti.

Il principio di Archimede

Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l’alto pari al peso del fluido spostato:

    \[ F_A = \rho_f\,V\,g \]

Corpo immerso in un liquido con il peso verso il basso e la spinta di Archimede verso l'alto
Sul corpo di volume V agiscono il peso mg e la spinta F_A. La spinta nasce dal fatto che la pressione del liquido (frecce azzurre) cresce con la profondità.

Dimostrazione

Prendiamo un corpo a forma di parallelepipedo con le facce orizzontali di area A e altezza h, immerso in un fluido di densità \rho_f. Le forze sulle facce laterali si annullano a coppie. Sulla faccia superiore, a profondità y, la pressione spinge verso il basso con p(y)\,A; su quella inferiore, a profondità y + h, spinge verso l’alto con p(y + h)\,A. Per la legge di Stevino la differenza è

    \[ F_A = \big(p(y + h) - p(y)\big)\,A = \rho_f\,g\,h\,A = \rho_f\,g\,V \]

Per un corpo di forma qualsiasi si ragiona così: se al suo posto ci fosse fluido, sarebbe in equilibrio, quindi la spinta delle pressioni circostanti è esattamente il peso di quel fluido. Le pressioni non cambiano se al posto del fluido c’è il corpo.

Galleggiamento. Un corpo galleggia se la sua densità media è minore di quella del fluido. All’equilibrio la parte immersa V_{imm} è tale che \rho_f V_{imm} g = \rho_c V g, cioè V_{imm}/V = \rho_c/\rho_f. Il ghiaccio (917 kg/m³) in acqua di mare (1025 kg/m³) ha circa l’89% del volume sott’acqua: la famosa punta dell’iceberg. Una nave d’acciaio galleggia perché la sua densità media, con l’aria nello scafo, è minore di quella dell’acqua.

Fluidi in movimento: l’equazione di continuità

Consideriamo un fluido incomprimibile che scorre in un tubo di sezione variabile, in regime stazionario. Nel tempo dt attraverso la sezione A_1 passa il volume A_1 v_1\,dt; lo stesso volume deve uscire dalla sezione A_2, perché il fluido non si accumula e non si comprime:

    \[ A_1\,v_1 = A_2\,v_2 \]

Il prodotto Q = A\,v è la portata (m³/s). Dove il tubo si stringe, il fluido accelera: è quello che fai stringendo con il pollice l’estremità di una canna da giardino.

L’equazione di Bernoulli

Per un fluido ideale (incomprimibile e senza viscosità) in regime stazionario, lungo una linea di corrente vale

    \[ p + \tfrac12\,\rho\,v^2 + \rho\,g\,y = \text{costante} \]

Dimostrazione

Seguiamo una porzione di fluido che, in un tempo dt, passa da un tratto del tubo (sezione A_1, pressione p_1, velocità v_1, quota y_1) a un altro (A_2, p_2, v_2, y_2). L’effetto netto è che un volumetto dV = A_1 v_1 dt = A_2 v_2 dt di massa dm = \rho\,dV passa dalla prima posizione alla seconda.

Il fluido che sta dietro spinge con p_1 A_1 per un tratto v_1 dt, quello davanti si oppone con p_2 A_2 per v_2 dt. Il lavoro delle forze di pressione è W = (p_1 - p_2)\,dV. Per il teorema dell’energia, con il lavoro della gravità scritto come variazione di energia potenziale:

    \[ (p_1 - p_2)\,dV = \tfrac12\,\rho\,dV\,(v_2^2 - v_1^2) + \rho\,dV\,g\,(y_2 - y_1) \]

Dividendo per dV e separando i termini con indice 1 e 2 si ottiene l’equazione di Bernoulli. È la conservazione dell’energia per unità di volume.

Conseguenze

  • Teorema di Torricelli. Da un foro a profondità h sotto il pelo libero di un serbatoio aperto, il liquido esce con v = \sqrt{2gh}, la stessa velocità di un sasso caduto da quell’altezza: la pressione è atmosferica sia in alto che all’uscita.
  • Effetto Venturi. In una strozzatura orizzontale la velocità aumenta, quindi la pressione diminuisce. Misurando la differenza di pressione tra due sezioni si ricava la portata: è il principio dei misuratori Venturi e del carburatore.
  • Portanza. Un’ala è sagomata in modo che l’aria sopra scorra più veloce che sotto: la differenza di pressione genera una forza verso l’alto. La spiegazione completa richiede anche come l’ala devia l’aria verso il basso, ma Bernoulli dà l’ordine di grandezza giusto.

I limiti del modello ideale: la viscosità

I fluidi reali hanno attrito interno, la viscosità \eta. In un tubo di raggio r e lunghezza L in regime laminare, la portata segue la legge di Poiseuille, Q = \pi r^4\,\Delta p/(8\eta L): dimezzando il raggio la portata scende di sedici volte. È per questo che un’arteria ristretta è così pericolosa, e che il raffreddamento a liquido dei computer usa tubi non troppo sottili. A velocità più alte il moto diventa turbolento, e il numero di Reynolds Re = \rho v d/\eta dice quando: in un tubo, sopra circa 2000-4000.

Articoli correlati

Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Oldest
Newest Most Voted
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x