Cemento armato: la flessione allo stato limite ultimo
Calcestruzzo e acciaio con le resistenze di progetto, ipotesi e stress block, momento resistente dimostrato con esempio completo, verifica dello snervamento, duttilità.
Il calcestruzzo resiste bene a compressione e quasi nulla a trazione; l’acciaio resiste a entrambe ma è costoso e, in elementi snelli, instabile. Il cemento armato li unisce: il calcestruzzo porta la compressione, barre d’acciaio messe dove la trave è tesa portano la trazione. In questa lezione vediamo i materiali con le loro resistenze di progetto, le ipotesi di calcolo allo stato limite ultimo, la formula del momento resistente di una sezione rettangolare con la dimostrazione e un esempio completo, e la duttilità.
I materiali
- Calcestruzzo: si classifica con la resistenza caratteristica a compressione su cilindri e cubi, per esempio C25/30 (
MPa). La resistenza di progetto è 
MPa, dove 0,85 tiene conto dei carichi di lunga durata. La resistenza a trazione, circa un decimo, si trascura nel calcolo a rottura. - Acciaio d’armatura B450C:
MPa, 
MPa, 
GPa. Le barre sono nervate per aderire al calcestruzzo.
I due materiali funzionano insieme perché aderiscono, hanno quasi lo stesso coefficiente di dilatazione termica, e il calcestruzzo, alcalino, protegge l’acciaio dalla corrosione se il copriferro è sufficiente.
Le ipotesi allo stato limite ultimo
- Le sezioni restano piane (lezione sulla flessione di Scienza delle costruzioni): le deformazioni variano linearmente.
- Acciaio e calcestruzzo aderiscono: la barra ha la deformazione del calcestruzzo che la circonda.
- Il calcestruzzo teso non lavora.
- Il calcestruzzo compresso arriva a rottura alla deformazione
%; la sua distribuzione di tensioni, a forma di parabola-rettangolo, si sostituisce con uno stress block rettangolare di altezza 
e tensione 
, con 
la profondità dell’asse neutro.
Il momento resistente
Teorema. Per una sezione rettangolare di base 
e altezza utile 
, con armatura tesa 
snervata, la profondità dell’asse neutro e il momento resistente sono
![\[ x = \frac{A_sf_{yd}}{0{,}8\,b\,f_{cd}},\qquad M_{Rd} = A_sf_{yd}\,(d - 0{,}4x) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e25ec614ef742f44f97472d8722436e5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. Lo stress block dà una forza di compressione 
, applicata nel suo baricentro, a 
dal bordo compresso. L’acciaio snervato dà una trazione 
alla quota . Senza sforzo normale esterno, l’equilibrio alla traslazione impone 
, da cui . Le due forze, uguali e opposte, formano una coppia con braccio 
: il momento resistente è 
. ∎
Esempio. Trave 300×500 mm, altezza utile 
mm, tre barre da 16 mm (
mm²), C25/30 e B450C. 
kN; 
mm; 
mm; 
kNm. Una trave di 6 m con un carico di progetto di 20 kN/m ha 
kNm: verificata.
Bisogna controllare che l’acciaio sia davvero snervato: dalle deformazioni lineari, 
%, ben oltre la deformazione di snervamento 
%.
La duttilità
Il risultato dell’esempio è il caso desiderabile: la rottura avviene per snervamento dell’acciaio, con grandi deformazioni e fessure visibili, prima che il calcestruzzo si schiacci. Una trave con troppa armatura avrebbe invece l’asse neutro profondo, l’acciaio non snervato, e si romperebbe per schiacciamento del calcestruzzo, in modo fragile e improvviso. Per questo le norme limitano il rapporto 
(per esempio a 0,45 nelle travi continue, valore che garantisce una buona capacità di rotazione) e impongono armature minime e massime. Nell’esempio 
: ampiamente duttile.
Per aumentare il momento resistente senza perdere duttilità si aumenta l’altezza della sezione, che allunga il braccio 
, oppure si aggiunge armatura anche nella zona compressa (doppia armatura). Negli edifici in zona sismica la duttilità è la proprietà più importante (lezione sulla progettazione sismica).
