La flessione: formula di Navier e momento d’inerzia

Il momento flettente (lezione sulle azioni interne) è la sollecitazione dominante in quasi tutte le travi. Come si distribuisce nella sezione? La risposta, dovuta a Navier, è semplice ed elegante: le tensioni variano linearmente con la distanza da un asse, l’asse neutro. In questa lezione vediamo il problema di De Saint-Venant, la formula di Navier con la sua dimostrazione, il momento d’inerzia del rettangolo dimostrato con il teorema del trasporto, un esempio di verifica, e la flessione composta con lo sforzo normale.

Il problema di De Saint-Venant

De Saint-Venant studiò un solido prismatico (una trave) caricato solo sulle basi, e mostrò che lontano dalle basi lo stato di tensione dipende solo dalle risultanti, non da come i carichi sono distribuiti (principio di De Saint-Venant): le soluzioni per sforzo normale, flessione, taglio e torsione valgono per ogni trave snella, a una distanza dai carichi concentrati paragonabile alle dimensioni della sezione.

La formula di Navier

Si osserva sperimentalmente, e si dimostra nella teoria di De Saint-Venant, che nella flessione le sezioni piane restano piane e ruotano attorno a un asse: le fibre da una parte si allungano, quelle dall’altra si accorciano, e quelle sull’asse neutro non cambiano lunghezza.

Teorema (Navier). In una trave elastica soggetta al momento , la tensione normale in una fibra a distanza dall’asse neutro è

e l’asse neutro passa per il baricentro della sezione.

Dimostrazione. Se la sezione ruota rigidamente di un angolo, la dilatazione delle fibre è proporzionale alla distanza dall’asse di rotazione: . Per la legge di Hooke (lezione sull’elasticità) . La flessione pura non ha sforzo normale: , quindi il momento statico rispetto all’asse è nullo e l’asse passa per il baricentro. Il momento delle tensioni deve uguagliare quello applicato: . Quindi e . ∎

La tensione massima, al bordo a distanza , vale con , il modulo di resistenza: la sezione resiste tanto più quanto più materiale sta lontano dall’asse neutro. Per questo le travi d’acciaio hanno sezione a doppio T, con le ali lontane dall’asse e un’anima sottile.

Il momento d’inerzia

Teorema. Per un rettangolo di base e altezza , rispetto all’asse baricentrico parallelo alla base,

Dimostrazione. , e . ∎

L’altezza conta al quadrato nella resistenza e al cubo nella rigidezza: una tavola di legno messa di coltello è molto più resistente che messa di piatto. Per sezioni composte si usa il teorema del trasporto (di Steiner): rispetto a un asse parallelo a distanza dal baricentro, , che si dimostra sviluppando e usando .

Esempio. La trave della lezione sulle azioni interne, con kNm, ha una sezione in legno lamellare di 200 mm per 400 mm: mm³, e MPa, ammissibile per un legno lamellare di buona classe. Ruotata di piatto (400 per 200), si dimezza e la tensione raddoppia.

Flessione e sforzo normale

Con uno sforzo normale insieme al momento, per sovrapposizione

e l’asse neutro si sposta dal baricentro. È il caso dei pilastri caricati fuori asse, delle travi precompresse (dove lo sforzo di compressione serve proprio a eliminare la trazione dovuta alla flessione), e delle sezioni in cemento armato, in cui il calcestruzzo non regge la trazione e lavora solo la parte compressa (lezione sul cemento armato a flessione di Tecnica delle costruzioni). Per un carico di compressione con eccentricità su un rettangolo, la sezione resta tutta compressa se : è il nocciolo centrale d’inerzia, la regola che gli antichi costruttori di muri e archi rispettavano senza conoscerne la formula.