Tensioni, tensore di Cauchy e cerchio di Mohr
Vettore e tensore delle tensioni, stato piano e giacitura ruotata, cerchio di Mohr dimostrato, tensioni principali e tangenziale massima con esempio, rotture a 45°.
Le azioni interne sono risultanti: per sapere se il materiale resiste bisogna conoscere come la forza si distribuisce punto per punto. La grandezza che lo descrive è la tensione, forza per unità di superficie. In un punto, la tensione dipende dall’orientamento della faccia su cui la si guarda. In questa lezione vediamo il vettore e il tensore delle tensioni, le tensioni su una giacitura ruotata nel caso piano, il cerchio di Mohr con la dimostrazione e un esempio, e le tensioni principali.
Il tensore delle tensioni
Su una piccola faccia di area 
e normale 
, dentro un corpo, agisce una forza 
; il vettore tensione è 
, misurato in pascal (in pratica in N/mm² = MPa). Si scompone in una componente normale 
, che tira o comprime la faccia, e una tangenziale 
, che la fa scorrere.
Cauchy dimostrò che basta conoscere le tensioni su tre facce perpendicolari per ottenerle su qualunque faccia: le nove componenti formano il tensore delle tensioni, simmetrico (
, per l’equilibrio alla rotazione di un cubetto elementare), e
![\[ \mathbf{t} = \boldsymbol{\sigma}\,\mathbf{n} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3aa5f077dd0f6467bbe07aa11d6a617_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Lo stato piano
In molti casi (lastre sottili, superfici libere, travi) le tensioni stanno in un piano: 
, 
e 
. Su una faccia la cui normale forma l’angolo 
con l’asse 
, proiettando 
sulla normale e sulla tangente e usando le formule dell’angolo doppio:
![\[ \sigma_n = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\cos 2\theta + \tau_{xy}\sin 2\theta \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8aa80c7bee0ce75d282242c8a086f22c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \tau_n = -\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-572d3ee894958d6a21205016eee5e1fb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il cerchio di Mohr
Teorema. Al variare dell’orientamento , il punto 
descrive un cerchio di centro 
e raggio
![\[ R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ae4934dd5ec0521fcf5a1d3992963de5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. Posto 
e 
, le formule precedenti diventano 
e 
. Elevando al quadrato e sommando, i doppi prodotti si cancellano e, poiché 
, resta 
: l’equazione di un cerchio. ∎
Rotare la faccia di nel corpo significa ruotare di 
sul cerchio. Le facce di normale e 
sono rappresentate da due punti diametralmente opposti, X e Y.
Tensioni principali
Le intersezioni del cerchio con l’asse sono le tensioni principali:
![\[ \sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm R \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a066c38bbe93bfb87261995cd9ad1a00_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
sulle cui facce la tensione tangenziale è nulla. La tensione tangenziale massima è il raggio 
, su facce inclinate di 45° rispetto alle direzioni principali.
Esempio. 
MPa, 
MPa, 
MPa. Centro 50, raggio 
MPa. Tensioni principali 
MPa e 
; tangenziale massima 50 MPa. La direzione principale si trova da 
, cioè 
e 
.
Le tensioni principali spiegano molte rotture. Un gessetto torto si spezza lungo un’elica a 45°: la torsione produce tangenziali pure, a cui corrispondono tensioni principali di trazione a 45°, e il gesso, fragile, cede a trazione. Nel cemento armato le fessure di taglio sono inclinate per la stessa ragione (lezione sul cemento armato a taglio di Tecnica delle costruzioni). Le misure con gli estensimetri (lezione sui sensori di Misure elettriche) si fanno spesso con rosette di tre griglie a 0°, 45° e 90°, da cui si ricostruisce lo stato piano e quindi il cerchio di Mohr.
