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Geometria e Algebra

Applicazioni lineari: matrice associata, nucleo, immagine e teorema della dimensione

Definizione ed esempi, matrice di un'applicazione con rotazioni e derivata, nucleo e immagine, dimostrazione del teorema della dimensione e cambiamento di base.

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Le applicazioni lineari sono le funzioni dell’algebra lineare: trasformano vettori in vettori rispettando somme e multipli. Rotazioni, proiezioni, derivate, filtri digitali sono tutti esempi. In questa lezione vediamo che ogni applicazione lineare tra spazi di dimensione finita si rappresenta con una matrice, introduciamo nucleo e immagine e dimostriamo il teorema della dimensione.

Definizione

Una funzione f: V\to W tra spazi vettoriali è lineare se

    \[ f(\mathbf u + \mathbf v) = f(\mathbf u) + f(\mathbf v),\qquad f(\lambda\mathbf v) = \lambda f(\mathbf v) \]

Conseguenza immediata: f(\mathbf 0) = \mathbf 0. Quindi f(x) = 2x + 1, nonostante il nome di “funzione lineare” che le si dà a scuola, non è lineare in questo senso: è una retta che non passa per l’origine.

Esempi: la rotazione del piano di un angolo \theta; la proiezione dello spazio su un piano; la derivata, che manda il polinomio p in p' e rispetta somme e multipli; un filtro digitale FIR, y_n = \sum_k h_k x_{n-k}, che è lineare nel segnale d’ingresso.

La matrice di un’applicazione lineare

Un’applicazione lineare è determinata dalle immagini dei vettori di una base. Se \mathbf v = x_1\mathbf e_1 + \dots + x_n\mathbf e_n, per la linearità

    \[ f(\mathbf v) = x_1 f(\mathbf e_1) + \dots + x_n f(\mathbf e_n) \]

Mettendo come colonne le immagini f(\mathbf e_j) si ottiene una matrice A, e f(\mathbf x) = A\mathbf x. Viceversa, ogni matrice m\times n definisce un’applicazione lineare da \mathbb R^n a \mathbb R^m. Le colonne di A sono le immagini dei vettori della base: è la regola da ricordare.

Una griglia del piano trasformata da un'applicazione lineare
Un’applicazione lineare manda la griglia quadrata in una griglia di parallelogrammi: le rette restano rette, le parallele restano parallele, l’origine resta ferma. Basta conoscere dove vanno \mathbf e_1 ed \mathbf e_2 (le colonne di A) per sapere dove va ogni vettore: A\mathbf v ha rispetto ad A\mathbf e_1, A\mathbf e_2 le stesse coordinate che \mathbf v ha rispetto a \mathbf e_1, \mathbf e_2.

Esempio: la rotazione. Ruotando di \theta, \mathbf e_1 = (1, 0) va in (\cos\theta, \sin\theta) ed \mathbf e_2 = (0, 1) va in (-\sin\theta, \cos\theta). Quindi

    \[ R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \]

Componendo due rotazioni, R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}: sviluppando il prodotto si ritrovano le formule di addizione del seno e del coseno, senza doverle ricordare.

Esempio: la derivata. Su \mathbb R[x]_{\le 2} con base 1, x, x^2: D(1) = 0, D(x) = 1, D(x^2) = 2x. Le coordinate di queste immagini sono le colonne:

    \[ D = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Derivare 3 - x + 2x^2 equivale a moltiplicare D per (3, -1, 2): si ottiene (-1, 4, 0), cioè -1 + 4x.

Nucleo e immagine

  • Il nucleo \ker f = \{\mathbf v : f(\mathbf v) = \mathbf 0\} è un sottospazio di V: per una matrice, sono le soluzioni del sistema omogeneo A\mathbf x = \mathbf 0.
  • L’immagine \operatorname{Im}f = \{f(\mathbf v)\} è un sottospazio di W: per una matrice, è lo spazio generato dalle colonne, e la sua dimensione è il rango.

f è iniettiva se e solo se \ker f = \{\mathbf 0\}. Infatti f(\mathbf u) = f(\mathbf v) equivale a f(\mathbf u - \mathbf v) = \mathbf 0, cioè \mathbf u - \mathbf v\in\ker f. f è suriettiva se e solo se \operatorname{Im}f = W.

Il teorema della dimensione

Teorema (nullità più rango). Se f: V\to W è lineare e V ha dimensione finita,

    \[ \dim\ker f + \dim\operatorname{Im}f = \dim V \]

Dimostrazione

Sia \mathbf u_1, \dots, \mathbf u_k una base di \ker f. La completiamo a una base di V aggiungendo \mathbf w_1, \dots, \mathbf w_r, con k + r = \dim V. Mostriamo che f(\mathbf w_1), \dots, f(\mathbf w_r) è una base dell’immagine, così \dim\operatorname{Im}f = r.

Generano. Ogni \mathbf v è \sum a_i\mathbf u_i + \sum b_j\mathbf w_j, e f(\mathbf v) = \sum b_j f(\mathbf w_j) perché f(\mathbf u_i) = \mathbf 0.

Sono indipendenti. Se \sum b_j f(\mathbf w_j) = \mathbf 0, allora f(\sum b_j\mathbf w_j) = \mathbf 0, quindi \sum b_j\mathbf w_j sta nel nucleo e si scrive come \sum a_i\mathbf u_i. Ma allora \sum b_j\mathbf w_j - \sum a_i\mathbf u_i = \mathbf 0 è una combinazione nulla di vettori di una base di V: tutti i coefficienti sono zero, in particolare i b_j.

Per una matrice m\times n di rango r il teorema dice che \dim\ker A = n - r: è il numero di parametri liberi del teorema di Rouché-Capelli, che così è dimostrato del tutto.

Conseguenze. Un’applicazione lineare da \mathbb R^n in sé stesso è iniettiva se e solo se è suriettiva (se e solo se è invertibile). Un’applicazione da \mathbb R^3 a \mathbb R^2 non può essere iniettiva: il nucleo ha almeno dimensione 1. Una da \mathbb R^2 a \mathbb R^3 non può essere suriettiva.

Cambiamento di base

La matrice di un’applicazione dipende dalla base scelta. Se P è la matrice che ha come colonne i vettori di una nuova base (scritti nella base vecchia), le coordinate si trasformano con \mathbf x = P\mathbf x', e la matrice dell’applicazione f: V\to V nella nuova base è

    \[ A' = P^{-1}AP \]

Due matrici legate così si dicono simili: rappresentano la stessa trasformazione vista da due sistemi di riferimento diversi. Hanno lo stesso determinante, lo stesso rango, la stessa traccia e gli stessi autovalori. Scegliere la base giusta per rendere A' il più semplice possibile, magari diagonale, è proprio il tema della prossima lezione.

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