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Analisi Matematica 2

Derivate parziali, gradiente, differenziabilità e piano tangente

Derivate parziali e gradiente, perché non bastano, differenziabilità e piano tangente, derivata direzionale e direzione di massima crescita, regola della catena e hessiana.

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In una variabile la derivata dice quanto cresce la funzione. In più variabili la domanda diventa: quanto cresce muovendosi in una certa direzione? La risposta porta alle derivate parziali, al gradiente, al piano tangente e alla differenziabilità, che è il concetto giusto per dire che una funzione è “liscia”.

Derivate parziali

La derivata parziale rispetto a x si calcola tenendo fissa y e derivando come in Analisi 1:

    \[ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h} \]

Geometricamente è la pendenza della curva che si ottiene tagliando il grafico con il piano y = y_0. Esempio: f(x, y) = x^2 y + \sin(xy) ha f_x = 2xy + y\cos(xy) e f_y = x^2 + x\cos(xy).

Il vettore delle derivate parziali è il gradiente:

    \[ \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right) \]

Le derivate parziali non bastano

In una variabile, derivabile implica continua. In più variabili no: la funzione \frac{xy}{x^2 + y^2}, prolungata con 0 nell’origine, ha entrambe le derivate parziali nulle in (0, 0) (lungo gli assi vale sempre 0), ma non è nemmeno continua lì. Le derivate parziali guardano solo due direzioni, mentre il comportamento attorno a un punto dipende da tutte.

Differenziabilità e piano tangente

f è differenziabile in \mathbf x_0 se si può approssimare con una funzione lineare con un errore che va a zero più in fretta della distanza:

    \[ f(\mathbf x_0 + \mathbf h) = f(\mathbf x_0) + \nabla f(\mathbf x_0)\cdot\mathbf h + o(\|\mathbf h\|) \]

Geometricamente: vicino al punto il grafico è indistinguibile da un piano, il piano tangente

    \[ z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) \]

Differenziabile implica continua e dotata di tutte le derivate direzionali. Il criterio pratico: se le derivate parziali esistono e sono continue in un intorno del punto, la funzione è differenziabile (teorema del differenziale totale). Tutte le funzioni costruite con operazioni elementari lo sono, dove le derivate sono continue.

Esempio. Il piano tangente a z = x^2 + y^2 in (1, 2): f = 5, \nabla f = (2, 4), quindi z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2).

Derivata direzionale

La derivata nella direzione del versore \mathbf v è

    \[ \frac{\partial f}{\partial\mathbf v}(\mathbf x_0) = \lim_{t\to 0}\frac{f(\mathbf x_0 + t\mathbf v) - f(\mathbf x_0)}{t} \]

e, se f è differenziabile, vale la formula del gradiente:

    \[ \frac{\partial f}{\partial\mathbf v} = \nabla f\cdot\mathbf v = |\nabla f|\cos\theta \]

Dimostrazione e conseguenze

Dalla definizione di differenziabilità con \mathbf h = t\mathbf v: f(\mathbf x_0 + t\mathbf v) - f(\mathbf x_0) = t\,\nabla f\cdot\mathbf v + o(t); dividendo per t e passando al limite si ottiene la formula. Dal coseno seguono tre fatti fondamentali:

  • la derivata direzionale è massima nella direzione del gradiente (\theta = 0) e vale |\nabla f|: il gradiente indica la direzione di massima crescita;
  • è minima, -|\nabla f|, nella direzione opposta;
  • è nulla nelle direzioni perpendicolari al gradiente.
Curve di livello di una funzione e vettori gradiente perpendicolari a esse
Le curve di livello di f = x^2 + 2y^2 e il gradiente in alcuni punti: è sempre perpendicolare alla curva di livello che passa per il punto e punta verso i valori crescenti. Dove le curve sono più fitte il gradiente è più lungo.

Lungo una curva di livello f è costante, quindi la derivata nella direzione tangente è zero: il gradiente è perpendicolare alle curve di livello. È per questo che le linee del campo elettrico \mathbf E = -\nabla V attraversano ad angolo retto le superfici equipotenziali, e che l’acqua scende lungo il pendio più ripido, perpendicolare alle isoipse.

La regola della catena

Se x = x(t) e y = y(t) descrivono una curva, la funzione composta g(t) = f(x(t), y(t)) ha derivata

    \[ g'(t) = f_x\,x'(t) + f_y\,y'(t) = \nabla f\cdot\mathbf r'(t) \]

Esempio. La temperatura in una piastra è T(x, y) = 100 - x^2 - 2y^2 °C (con x, y in metri) e una formica si muove lungo \mathbf r(t) = (t, t) metri, con t in secondi. All’istante t = 1, \nabla T = (-2, -4) e \mathbf r' = (1, 1): la formica sente la temperatura scendere di 6 °C al secondo.

Più in generale, per \mathbf F: \mathbb R^n\to\mathbb R^m la derivata è la matrice jacobiana, con le derivate parziali di ogni componente sulle righe, e la regola della catena dice che la jacobiana della composizione è il prodotto delle jacobiane. È il legame tra Analisi 2 e Geometria e Algebra: differenziare vuol dire approssimare con un’applicazione lineare.

Derivate seconde

Derivando di nuovo si ottengono le derivate seconde f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy}, raccolte nella matrice hessiana. Il teorema di Schwarz garantisce che, se le derivate seconde miste sono continue, l’ordine non conta: f_{xy} = f_{yx}, e l’hessiana è simmetrica. La useremo nella prossima lezione per classificare massimi, minimi e punti di sella.

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