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Analisi Matematica 2

Funzioni di più variabili: dominio, curve di livello, limiti e continuità

Topologia di R^n, grafici e curve di livello, limiti con esempi di non esistenza lungo rette e parabole, coordinate polari, continuità e teorema di Weierstrass.

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La temperatura in una stanza dipende da tre coordinate, la resistenza di un termistore da temperatura e corrente, il guadagno di un amplificatore da frequenza e carico. Quasi tutte le grandezze reali dipendono da più variabili. In questa lezione estendiamo i concetti di Analisi 1 alle funzioni f: \mathbb R^n\to\mathbb R: come si rappresentano, che cosa sono intorni, insiemi aperti e chiusi, e come si definiscono limiti e continuità.

Lo spazio \mathbb R^n

I punti di \mathbb R^n sono n-uple \mathbf x = (x_1, \dots, x_n). La distanza è quella euclidea, \|\mathbf x - \mathbf y\| = \sqrt{\sum(x_i - y_i)^2}. La palla (o intorno) di centro \mathbf x_0 e raggio r è B_r(\mathbf x_0) = \{\mathbf x : \|\mathbf x - \mathbf x_0\| \lt r\}: un intervallo in \mathbb R, un disco nel piano, una sfera piena nello spazio.

Rispetto a un insieme A, un punto può essere:

  • interno: c’è una palla attorno a lui tutta contenuta in A;
  • di frontiera: ogni palla attorno a lui contiene punti di A e punti fuori da A;
  • di accumulazione: ogni palla attorno a lui contiene punti di A diversi da lui.

A è aperto se tutti i suoi punti sono interni (il disco senza il bordo), chiuso se contiene tutta la sua frontiera (il disco con il bordo), limitato se sta dentro una palla. Un insieme chiuso e limitato si dice compatto: è l’equivalente degli intervalli [a, b] di Analisi 1, e su di essi vale ancora il teorema di Weierstrass.

Come si rappresenta una funzione di due variabili

Il grafico di f(x, y) è la superficie z = f(x, y) nello spazio. Siccome disegnare superfici è scomodo, si usano le curve di livello: gli insiemi \{(x, y) : f(x, y) = c\}, proiettati sul piano xy. È esattamente il metodo delle carte topografiche (le isoipse), delle carte meteorologiche (le isobare) e delle mappe di campo elettrico (le linee equipotenziali).

Grafico di una funzione di due variabili con le curve di livello sulla superficie e sul piano
La superficie z = f(x, y) a forma di collina e alcune sue curve di livello: tagliando la superficie a quote costanti si ottengono curve che, proiettate sul piano xy, formano la “carta topografica” della funzione.

Dove le curve di livello (a quote equidistanti) sono fitte la funzione cresce rapidamente, dove sono rade la superficie è quasi piatta.

Esempi. f(x, y) = x^2 + y^2 ha come curve di livello circonferenze concentriche e come grafico un paraboloide. f(x, y) = x^2 - y^2 ha come curve di livello iperboli e come grafico una “sella”. f(x, y) = ax + by ha rette parallele e come grafico un piano.

Dominio. Come in Analisi 1 bisogna trovare dove l’espressione ha senso, ma ora il risultato è una regione del piano. Per f(x, y) = \sqrt{4 - x^2 - y^2} + \ln(y - x) servono x^2 + y^2 \le 4 e y \gt x: il disco di raggio 2 intersecato con il semipiano sopra la bisettrice.

Limiti

    \[ \lim_{\mathbf x\to\mathbf x_0} f(\mathbf x) = L \]

se per ogni \varepsilon \gt 0 esiste \delta \gt 0 tale che |f(\mathbf x) - L| \lt \varepsilon per tutti gli \mathbf x del dominio con 0 \lt \|\mathbf x - \mathbf x_0\| \lt \delta. La definizione è identica a quella di Analisi 1, ma con una differenza enorme: nel piano ci si può avvicinare al punto da infinite direzioni e lungo infiniti percorsi, e il limite deve essere lo stesso per tutti.

Come si dimostra che un limite non esiste

Basta trovare due percorsi lungo cui i limiti sono diversi. Esempio:

    \[ f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2},\qquad (x, y)\to(0, 0) \]

Lungo l’asse x (y = 0) vale sempre 0. Lungo la retta y = mx vale \frac{m x^2}{(1 + m^2)x^2} = \frac{m}{1 + m^2}, che dipende da m: lungo la bisettrice vale 1/2. Il limite non esiste.

Attenzione: avere lo stesso limite lungo tutte le rette non basta. Per g(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} il limite lungo ogni retta per l’origine è 0, ma lungo la parabola y = x^2 la funzione vale costantemente 1/2.

Come si dimostra che un limite esiste: le coordinate polari

Si pone x = \rho\cos\theta, y = \rho\sin\theta, e si cerca una stima |f - L| \le g(\rho) con g(\rho)\to 0, indipendente da \theta. Esempio:

    \[ \left|\frac{x^2 y}{x^2 + y^2}\right| = \frac{\rho^3|\cos^2\theta\sin\theta|}{\rho^2} \le \rho \to 0 \]

quindi il limite è 0. Non basta che per ogni \theta fissato il limite in \rho sia zero: la stima deve essere uniforme in \theta, altrimenti si ricade nel caso della parabola.

Continuità

f è continua in \mathbf x_0 se \lim_{\mathbf x\to\mathbf x_0}f(\mathbf x) = f(\mathbf x_0). Somme, prodotti, quozienti (dove il denominatore non si annulla) e composizioni di funzioni continue sono continue: i polinomi in x e y, e^{xy}, \sin(x^2 + y) sono continui ovunque.

La funzione \frac{xy}{x^2 + y^2}, prolungata con 0 nell’origine, non è continua in (0, 0), anche se è continua lungo ogni retta orizzontale e verticale: è il primo segnale che in più variabili le cose sono più delicate.

Teorema di Weierstrass. Una funzione continua su un insieme compatto ha massimo e minimo. Lo useremo per cercare gli estremi assoluti nelle lezioni sui massimi e minimi.

Funzioni a valori vettoriali

Più in generale si studiano funzioni \mathbf F: \mathbb R^n\to\mathbb R^m. Con n = 1 sono le curve (posizione di un punto in funzione del tempo); con n = m = 2 o 3 sono i campi vettoriali, come il campo elettrico o la velocità di un fluido, che assegnano un vettore a ogni punto. Limiti e continuità si studiano componente per componente.

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