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Analisi Matematica 2

Serie di Fourier: coefficienti, convergenza e spettro dei segnali

Ortogonalità e formule dei coefficienti, l'onda quadra e le sue armoniche, teorema di Dirichlet, fenomeno di Gibbs, identità di Parseval e forma complessa.

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La serie di Taylor approssima una funzione con potenze, ed è ottima vicino a un punto. Per le funzioni periodiche, come i segnali di un circuito in regime alternato, è molto più naturale usare seni e coseni. Fourier lo propose nel 1807 per risolvere l’equazione del calore; oggi è la base dell’analisi dei segnali, dei filtri, della compressione audio e delle comunicazioni.

Polinomi trigonometrici e serie di Fourier

Una funzione f periodica di periodo 2\pi si vuole scrivere come

    \[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}\big(a_k\cos kx + b_k\sin kx\big) \]

Il termine a_0/2 è il valore medio, i termini con k = 1 sono la fondamentale, quelli con k \ge 2 le armoniche. Per un periodo T qualsiasi si sostituisce kx con k\omega t, dove \omega = 2\pi/T.

Dimostrazione: le formule dei coefficienti

La chiave sono le relazioni di ortogonalità: per interi k, m \ge 1

    \[ \int_{-\pi}^{\pi}\cos kx\cos mx\,dx = \int_{-\pi}^{\pi}\sin kx\sin mx\,dx = \begin{cases}\pi & k = m\\ 0 & k \ne m\end{cases},\qquad \int_{-\pi}^{\pi}\sin kx\cos mx\,dx = 0 \]

Si dimostrano con le formule di prostaferesi: per esempio \cos kx\cos mx = \tfrac12[\cos(k - m)x + \cos(k + m)x], e l’integrale su un periodo di \cos nx è zero per ogni n \ne 0.

Moltiplichiamo la serie per \cos mx e integriamo su [-\pi, \pi], supponendo di poter integrare termine a termine. Tutti i termini si annullano tranne quello con \cos mx, che dà a_m\pi. Quindi

    \[ a_k = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx\,dx,\qquad b_k = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx\,dx \]

È esattamente il calcolo delle coordinate in una base ortogonale della lezione di Geometria e Algebra: le funzioni \cos kx e \sin kx sono una base ortogonale rispetto al prodotto scalare \langle f, g\rangle = \int_{-\pi}^{\pi} f g, e i coefficienti di Fourier sono le proiezioni di f su di essa.

Simmetrie utili. Se f è pari, tutti i b_k sono nulli (serie di soli coseni); se è dispari, tutti gli a_k sono nulli (serie di soli seni).

Esempio: l’onda quadra

Sia f(x) = 1 per 0 \lt x \lt \pi e f(x) = -1 per -\pi \lt x \lt 0, prolungata periodicamente. È dispari, quindi a_k = 0, e

    \[ b_k = \frac2\pi\int_0^\pi\sin kx\,dx = \frac{2}{k\pi}(1 - \cos k\pi) = \begin{cases}\dfrac{4}{k\pi} & k \text{ dispari}\\ 0 & k \text{ pari}\end{cases} \]

    \[ f(x) = \frac4\pi\left(\sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \dots\right) \]

Somme parziali della serie di Fourier di un'onda quadra con 1, 3 e 19 termini
Le somme parziali della serie dell’onda quadra (grigia) con armoniche fino a N = 1, 3 e 19. Aumentando i termini l’approssimazione migliora ovunque tranne vicino ai salti, dove resta un’oscillazione di circa il 9% del salto: il fenomeno di Gibbs.

Un’onda quadra contiene solo armoniche dispari, con ampiezza che cala come 1/k. È per questo che un segnale di clock digitale a 100 MHz produce disturbi a 300, 500, 700 MHz, ed è il motivo per cui i fronti dei segnali veloci vengono a volte rallentati apposta.

Convergenza

Teorema (Dirichlet). Se f è periodica e regolare a tratti (con un numero finito di salti e di punti angolosi in un periodo), la serie di Fourier converge in ogni punto:

  • a f(x) dove f è continua;
  • alla media \tfrac12[f(x^+) + f(x^-)] nei punti di salto.

Nell’onda quadra, in x = 0 la serie vale 0, la media tra -1 e 1.

Vicino ai salti la convergenza non è uniforme: le somme parziali superano il valore della funzione di circa il 9% dell’ampiezza del salto, e questo picco si sposta verso il salto ma non diminuisce aumentando i termini. È il fenomeno di Gibbs, visibile nella figura. Se invece f è continua e regolare a tratti, la convergenza è uniforme.

L’identità di Parseval e l’energia

    \[ \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2\,dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}\big(a_k^2 + b_k^2\big) \]

È il teorema di Pitagora in dimensione infinita: il quadrato della norma è la somma dei quadrati delle coordinate. Fisicamente, la potenza di un segnale periodico è la somma delle potenze delle sue armoniche. Per l’onda quadra il primo membro vale 2, e ne segue un risultato sorprendente: \sum_{k \text{ dispari}}\frac{16}{\pi^2k^2} = 2, cioè 1 + \frac19 + \frac1{25} + \dots = \frac{\pi^2}{8}.

Ne segue anche che la sola fondamentale porta 8/\pi^2 \approx 81\% della potenza dell’onda quadra: è da qui che si calcola la distorsione armonica totale (THD) di un segnale.

Forma complessa

Con la formula di Eulero la serie si scrive in modo più compatto:

    \[ f(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\,e^{ikx},\qquad c_k = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,e^{-ikx}\,dx \]

È la forma usata in elettronica e nelle telecomunicazioni. Facendo tendere il periodo all’infinito, la somma sulle frequenze discrete k diventa un integrale su tutte le frequenze: è la trasformata di Fourier, che descrive lo spettro di segnali non periodici. La versione per segnali campionati, calcolata con l’algoritmo FFT, è dentro ogni oscilloscopio digitale, ogni modem e ogni codec audio. La trasformata Zeta, collegata a questa materia, ne è la generalizzazione per i sistemi a tempo discreto.

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