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Metodi Matematici

Equazioni alle derivate parziali: onde, calore e separazione delle variabili

Le tre equazioni classiche, soluzione di d'Alembert, corda vibrante con modi normali e serie di Fourier, equazione del calore e tempi di diffusione, equazione di Laplace.

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Le equazioni differenziali di Analisi 2 avevano una sola variabile indipendente, il tempo. Ma un segnale che corre lungo un cavo, il calore che si propaga in un dissipatore, il potenziale in un dispositivo a semiconduttore dipendono dal tempo e dallo spazio. Servono le equazioni alle derivate parziali (EDP). In questa lezione vediamo le tre equazioni classiche, il metodo di separazione delle variabili con la corda vibrante e l’equazione del calore, e il legame con la serie di Fourier.

Le tre equazioni classiche

TipoEquazioneFenomeni
iperbolicau_{tt} = c^2 u_{xx} (onde)corde vibranti, suono, onde elettromagnetiche, segnali sulle linee di trasmissione
parabolicau_t = \alpha\,u_{xx} (calore)conduzione del calore, diffusione dei portatori nei semiconduttori
ellitticau_{xx} + u_{yy} = 0 (Laplace)potenziale elettrostatico, temperatura stazionaria

Per avere una soluzione unica servono le condizioni al contorno (che cosa succede sui bordi del dominio) e, per le equazioni con il tempo, le condizioni iniziali.

L’equazione delle onde e la soluzione di d’Alembert

Per una corda infinita, l’equazione u_{tt} = c^2u_{xx} ha la soluzione generale

    \[ u(x, t) = F(x - ct) + G(x + ct) \]

per funzioni F e G qualsiasi (basta derivare due volte per verificarlo). F(x - ct) è una forma che viaggia verso destra con velocità c senza deformarsi, G(x + ct) una che viaggia verso sinistra. Con le condizioni iniziali u(x, 0) = f(x) e u_t(x, 0) = 0 si ottiene u = \tfrac12[f(x - ct) + f(x + ct)]: la forma iniziale si divide in due metà che partono in direzioni opposte.

Sulle linee di trasmissione la tensione obbedisce alla stessa equazione, con c = 1/\sqrt{LC} (induttanza e capacità per unità di lunghezza): è il motivo per cui sui circuiti stampati veloci i segnali vanno trattati come onde, con riflessioni alle estremità se l’impedenza non è adattata.

La separazione delle variabili: la corda vibrante

Una corda di lunghezza L fissata agli estremi: u(0, t) = u(L, t) = 0. Si cercano soluzioni della forma u(x, t) = X(x)\,T(t). Sostituendo nell’equazione e dividendo per XT:

    \[ \frac{T''}{c^2\,T} = \frac{X''}{X} = -\lambda \]

Il primo membro dipende solo da t, il secondo solo da x: possono essere uguali per ogni x e t solo se sono entrambi uguali a una costante. L’EDP si spezza in due equazioni ordinarie.

Gli autovalori

X'' + \lambda X = 0 con X(0) = X(L) = 0. Per \lambda \le 0 l’unica soluzione è quella nulla. Per \lambda = k^2 \gt 0, X = A\sin kx + B\cos kx: da X(0) = 0 segue B = 0, da X(L) = 0 segue \sin kL = 0, cioè

    \[ k_n = \frac{n\pi}{L},\qquad X_n(x) = \sin\frac{n\pi x}{L},\qquad n = 1, 2, 3, \dots \]

Solo una successione discreta di forme è permessa: sono i modi normali.

I primi tre modi di vibrazione di una corda fissata agli estremi
I primi tre modi normali di una corda di lunghezza L fissata agli estremi: il modo n ha n ventri e n − 1 nodi interni, e vibra alla frequenza n volte la fondamentale.

Per ogni modo, T'' + c^2k_n^2T = 0 dà un’oscillazione armonica di pulsazione \omega_n = c\,n\pi/L. Le frequenze sono multiple intere della fondamentale f_1 = \frac{c}{2L}: sono le armoniche della lezione sulla serie di Fourier. È la fisica di ogni strumento a corda: dimezzare la lunghezza (premere il tasto a metà manico della chitarra) raddoppia la frequenza, un’ottava sopra.

La soluzione generale

Per la linearità, una somma di soluzioni è ancora una soluzione:

    \[ u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{n\pi x}{L}\Big(a_n\cos\omega_n t + b_n\sin\omega_n t\Big) \]

I coefficienti si ricavano dalle condizioni iniziali, e qui torna la serie di Fourier: con la corda ferma in una forma iniziale f(x), deve essere f(x) = \sum a_n\sin\frac{n\pi x}{L}, quindi gli a_n sono i coefficienti della serie di soli seni di f:

    \[ a_n = \frac2L\int_0^L f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx \]

Pizzicare la corda in un punto diverso cambia i coefficienti, cioè il peso delle armoniche, quindi il timbro: è il motivo per cui una chitarra suona diversa pizzicata vicino al ponte o al centro.

L’equazione del calore

Una barra di lunghezza L con gli estremi tenuti a temperatura zero e una distribuzione iniziale f(x): u_t = \alpha u_{xx}. La separazione delle variabili dà gli stessi modi spaziali, ma l’equazione nel tempo è ora del primo ordine: T' = -\alpha k_n^2T, con soluzione esponenziale decrescente. Quindi

    \[ u(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n\,e^{-\alpha(n\pi/L)^2t}\sin\frac{n\pi x}{L} \]

Due osservazioni importanti:

  • non ci sono oscillazioni: la temperatura si smorza verso l’equilibrio;
  • i modi alti si smorzano molto più in fretta (il fattore è n^2): dopo poco tempo resta solo il primo modo, una mezza sinusoide. Il calore leviga le irregolarità della distribuzione iniziale.

Il tempo caratteristico è \tau = \frac{L^2}{\pi^2\alpha}, proporzionale al quadrato della lunghezza. Per l’alluminio \alpha \approx 9{,}7\times 10^{-5} m²/s: una barra di 10 cm si assesta in circa 0{,}01/(9{,}87\cdot 9{,}7\times 10^{-5}) \approx 10 s, una di 1 m in circa 17 minuti. Raddoppiare la distanza che il calore deve percorrere quadruplica il tempo: è una delle regole d’oro della progettazione termica.

L’equazione di Laplace

In regime stazionario l’equazione del calore diventa u_{xx} + u_{yy} = 0. Con la separazione delle variabili su un rettangolo si ottengono soluzioni del tipo \sin(kx)\sinh(ky); su un disco, in coordinate polari, r^n\cos n\theta. Le soluzioni sono le funzioni armoniche della lezione sulle funzioni complesse, ed è qui che le trasformazioni conformi diventano utili: portano un dominio complicato in uno semplice dove la soluzione si conosce.

Quando la geometria è troppo complicata per qualsiasi metodo analitico si passa ai metodi numerici, alle differenze finite o agli elementi finiti, che sono il tema del corso di Calcolo numerico.

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