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Metodi Matematici

Laplace in pratica: equazioni differenziali, circuiti e funzione di trasferimento

Soluzione di equazioni differenziali, impedenze nel dominio di s, funzione di trasferimento e retroazione, sistema del secondo ordine, sovraelongazione e tempo di assestamento.

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Con la trasformata di Laplace un’equazione differenziale con le sue condizioni iniziali diventa un’equazione algebrica, che si risolve con le quattro operazioni. In questa lezione la usiamo per risolvere equazioni differenziali, per analizzare i circuiti direttamente nel dominio di s e per studiare la funzione di trasferimento e la risposta al gradino dei sistemi del secondo ordine, i più diffusi in elettronica e nei controlli.

Risolvere un’equazione differenziale

Il metodo ha tre passi: si trasforma l’equazione, si ricava Y(s), si antitrasforma.

Esempio.

    \[ y'' + 3y' + 2y = 4,\qquad y(0) = 0,\quad y'(0) = 1 \]

Trasformando, con \mathcal L\{y''\} = s^2Y - sy(0) - y'(0) e \mathcal L\{y'\} = sY - y(0):

    \[ s^2Y - 1 + 3sY + 2Y = \frac4s \quad\Rightarrow\quad Y(s) = \frac{s + 4}{s(s + 1)(s + 2)} \]

Fratti semplici: \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 1} + \frac{C}{s + 2}, con A = \frac{4}{2} = 2, B = \frac{3}{(-1)(1)} = -3, C = \frac{2}{(-2)(-1)} = 1. Quindi

    \[ y(t) = 2 - 3e^{-t} + e^{-2t} \]

Verifica: y(0) = 0, y'(0) = 3 - 2 = 1, e a regime y\to 2, come dice il teorema del valore finale: \lim_{s\to 0}sY = \frac{4}{2} = 2. Nessuna costante da determinare alla fine: le condizioni iniziali sono entrate nel calcolo fin dall’inizio.

I circuiti nel dominio di s

Trasformando le relazioni dei componenti, con condizioni iniziali nulle:

ComponenteTempoDominio di sImpedenza
resistorev = RiV = RIR
induttorev = L\,di/dtV = sL\,IsL
condensatorei = C\,dv/dtI = sC\,V\dfrac{1}{sC}

Sono le impedenze della lezione sulla corrente alternata con s al posto di i\omega. Il circuito si risolve con la legge di Ohm generalizzata, partitori e leggi di Kirchhoff, come se fosse fatto di resistori. Le condizioni iniziali non nulle si rappresentano con generatori aggiuntivi: un condensatore carico a v_0 diventa l’impedenza 1/(sC) in serie con un generatore v_0/s.

Esempio: il passa basso RC. Il partitore tra R e 1/(sC) dà

    \[ H(s) = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{1/(sC)}{R + 1/(sC)} = \frac{1}{1 + sRC} \]

Con un gradino in ingresso, V_{in} = 1/s, si ottiene V_{out} = \frac{1}{s(1 + s\tau)} e quindi v_{out} = 1 - e^{-t/\tau}: la carica del condensatore, in tre righe.

La funzione di trasferimento

Per un sistema lineare con condizioni iniziali nulle, il rapporto tra le trasformate di uscita e ingresso non dipende dall’ingresso:

    \[ H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} \]

È la funzione di trasferimento, ed è la trasformata di Laplace della risposta impulsiva. Contiene tutto il sistema:

  • i suoi poli danno i modi naturali e la stabilità;
  • calcolata in s = i\omega dà la risposta in frequenza: |H(i\omega)| è il guadagno e \arg H(i\omega) lo sfasamento a ogni frequenza, da cui si disegnano i diagrammi di Bode;
  • moltiplicata per la trasformata dell’ingresso dà l’uscita.

Collegare sistemi in cascata vuol dire moltiplicare le funzioni di trasferimento. Con una retroazione negativa, un blocco G(s) con retroazione K(s) diventa

    \[ H(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)K(s)} \]

la formula alla base degli amplificatori operazionali retroazionati e di tutti i sistemi di controllo.

Il sistema del secondo ordine

Moltissimi sistemi (il circuito RLC, una sospensione, il motore di un hard disk) si comportano come

    \[ H(s) = \frac{\omega_0^2}{s^2 + 2\zeta\omega_0 s + \omega_0^2} \]

dove \omega_0 è la pulsazione naturale e \zeta il coefficiente di smorzamento. I poli sono

    \[ s = -\zeta\omega_0 \pm \omega_0\sqrt{\zeta^2 - 1} \]

reali e distinti se \zeta \gt 1, coincidenti se \zeta = 1, complessi coniugati se \zeta \lt 1.

Risposta al gradino di un sistema del secondo ordine per cinque valori del coefficiente di smorzamento
Risposta al gradino per \zeta_1 = 0{,}15, \zeta_2 = 0{,}4, \zeta_3 = 0{,}7, \zeta_4 = 1 e \zeta_5 = 2. Con smorzamento basso la risposta supera il valore finale e oscilla a lungo; con \zeta = 1 arriva senza superarlo; con smorzamento alto è lenta.

Per \zeta \lt 1 la risposta al gradino è

    \[ y(t) = 1 - \frac{e^{-\zeta\omega_0 t}}{\sqrt{1 - \zeta^2}}\sin\!\left(\omega_d t + \varphi\right),\qquad \omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2},\quad \cos\varphi = \zeta \]

I parametri che si leggono sulle specifiche:

  • la sovraelongazione massima, e^{-\pi\zeta/\sqrt{1 - \zeta^2}}: il 37% con \zeta = 0{,}3, il 4,6% con \zeta = 0{,}7, zero con \zeta \ge 1;
  • il tempo di assestamento al 2%, circa 4/(\zeta\omega_0);
  • il tempo di salita, inversamente proporzionale a \omega_0.

Il valore \zeta \approx 0{,}7 è un compromesso classico: risposta rapida con una sovraelongazione di pochi per cento. È lo smorzamento di un filtro di Butterworth del secondo ordine (\zeta = 1/\sqrt2), quello con la risposta in frequenza più piatta possibile.

Esempio. Un RLC serie con uscita sul condensatore ha H(s) = \frac{1}{LCs^2 + RCs + 1}, quindi \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} e \zeta = \frac R2\sqrt{\frac CL}. Con L = 1 mH e C = 1 µF, \omega_0 = 31\,600 rad/s (5 kHz); per avere \zeta = 0{,}7 serve R = 1{,}4\sqrt{L/C} \approx 44 Ω.

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