Stabilità e criterio di Routh-Hurwitz
Stabilità e posizione dei poli, condizione necessaria sui coefficienti con dimostrazione, tabella di Routh, caso del terzo grado, guadagno massimo e oscillazione al limite.
Il primo requisito di qualsiasi sistema di controllo è la stabilità: dopo un disturbo deve tornare al suo funzionamento normale, non oscillare sempre di più o divergere. Una retroazione mal progettata può rendere instabile anche un processo perfettamente stabile. In questa lezione vediamo il legame tra stabilità e posizione dei poli e il criterio di Routh-Hurwitz, che permette di stabilire la stabilità senza calcolare le radici.
Stabilità e poli
Per un sistema lineare con funzione di trasferimento razionale, la risposta all’impulso è una somma di termini 
, uno per ogni polo 
(con 
fino alla molteplicità meno uno). Ne segue:
- se tutti i poli hanno parte reale negativa, ogni termine tende a zero, la risposta all’impulso è assolutamente integrabile e il sistema è stabile (BIBO, come nella lezione di Teoria dei segnali);
- se anche un solo polo ha parte reale positiva, il termine corrispondente cresce senza limite: instabile;
- poli semplici sull’asse immaginario danno termini costanti o oscillazioni persistenti: il sistema è al limite (marginalmente stabile), e un ingresso alla stessa frequenza lo fa divergere.
La stabilità di un anello chiuso dipende quindi dalle radici di 
, l’equazione caratteristica. Per un polinomio di grado alto le radici non si possono calcolare a mano, ma per sapere se un sistema è stabile basta conoscerne il segno della parte reale.
Una condizione necessaria
Teorema. Se tutte le radici di un polinomio a coefficienti reali 
, con 
, hanno parte reale negativa, allora tutti i coefficienti sono positivi.
Dimostrazione. Il polinomio è 
per il prodotto di fattori 
per le radici reali 
, con 
, e 
per le coppie complesse 
. Tutti questi fattori hanno coefficienti positivi, e il prodotto di polinomi a coefficienti positivi ha coefficienti positivi. ∎
Un coefficiente nullo o negativo basta quindi a dire che il sistema non è stabile. Il contrario non vale: 
ha tutti i coefficienti positivi ma due radici a parte reale positiva.
Il criterio di Routh-Hurwitz
Si costruisce una tabella. Le prime due righe contengono i coefficienti del polinomio, alternati:
 | |  |  | … |
|---|---|---|---|---|
 |  |  |  | … |
 |  |  | … |
e ogni nuova riga si calcola dalle due precedenti con
![\[ b_1 = \frac{a_{n-1}a_{n-2} - a_n a_{n-3}}{a_{n-1}},\qquad b_2 = \frac{a_{n-1}a_{n-4} - a_n a_{n-5}}{a_{n-1}},\ \dots \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8f9041509e0494f04e48528f582f42b5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
fino alla riga 
.
Criterio (enunciato). Il numero di radici con parte reale positiva è uguale al numero di cambi di segno nella prima colonna. Il sistema è stabile se e solo se tutti gli elementi della prima colonna hanno lo stesso segno.
Il caso del terzo grado. Per 
la prima colonna è 
: il sistema è stabile se e solo se tutti i coefficienti sono positivi e
![\[ a_2 a_1 \gt a_3 a_0 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-033780abd8c2b656705fdd8d331c0100_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nell’esempio : 
, instabile, come detto.
Il guadagno massimo
L’uso tipico è trovare l’intervallo di guadagno che mantiene stabile l’anello.
Esempio. Processo 
con un controllore proporzionale 
. L’equazione caratteristica è
![\[ s(s + 2)(s + 4) + K = s^3 + 6s^2 + 8s + K = 0 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7778013630d720e0e4ba0529e1c06b08_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Per il criterio del terzo grado: 
e 
. L’anello è stabile per 
. Al limite, 
, la riga 
si annulla e la riga 
dà l’equazione ausiliaria 
, cioè 
: il sistema oscilla con pulsazione 
rad/s. Lo ritroveremo nella lezione sul luogo delle radici.
Questo esempio mostra il comportamento generale: con un guadagno basso il sistema è stabile ma lento e impreciso; aumentandolo diventa più pronto, poi sempre meno smorzato, e oltre un limite instabile. Il progetto del controllore è la ricerca del miglior compromesso dentro questi limiti.
