Trasformata Zeta, approfondimento: stabilità, piano z, ZOH, Eulero e Tustin

Proprietà e teoremi dimostrati, tre metodi di antitrasformazione, stabilità con i poli nel cerchio unitario, mappa z uguale a e alla sT, discretizzazione con mantenitore, Eulero e Tustin con prewarping, esempio in Python, tabelle.

ielettronica 25 ottobre 2026 9 min di lettura 0 commenti

Questa pagina approfondisce la lezione sulla trasformata Zeta, lo strumento con cui si progettano tutti i sistemi che girano su un processore: filtri digitali, regolatori nei microcontrollori, centraline delle automobili. Dimostra le proprietà e i teoremi del valore iniziale e finale, sviluppa l’antitrasformata con tre metodi, dimostra il criterio di stabilità (poli dentro il cerchio unitario), spiega come la mappa $z = e^{sT}$ trasforma il piano $s$ nel piano $z$ e confronta i metodi per passare da un sistema continuo a uno discreto: mantenitore di ordine zero, Eulero e Tustin. In fondo ci sono le tabelle da ricordare e un esempio in Python.

Le proprietà, dimostrate

Definizione: $X(z) = \sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}$ , per sequenze nulle per $n \lt 0$ .

Ritardo di $k$ campioni. $\sum_n x[n - k]z^{-n}$ , con $m = n - k$ , diventa $z^{-k}\sum_m x[m]z^{-m} = z^{-k}X(z)$ (i termini con $m \lt 0$ sono nulli).
Anticipo. $\sum_n x[n + 1]z^{-n} = z\sum_{m \ge 1}x[m]z^{-m} = z\left(X(z) - x[0]\right)$ . Più in generale $\mathcal Z\{x[n + 2]\} = z^2X - z^2x[0] - zx[1]$ : le condizioni iniziali entrano come in Laplace.
Scalatura. $\sum a^nx[n]z^{-n} = \sum x[n](z/a)^{-n} = X(z/a)$ : moltiplicare per $a^n$ sposta i poli di un fattore $a$ .
Moltiplicazione per $n$ . Derivando $X$ rispetto a $z$ : $X'(z) = \sum(-n)x[n]z^{-n-1}$ , quindi $\mathcal Z\{n\,x[n]\} = -z\,X'(z)$ . Da $\mathcal Z\{u[n]\} = \frac{z}{z - 1}$ si ottiene $\mathcal Z\{n\} = \frac{z}{(z - 1)^2}$ .
Convoluzione. $\sum_n\sum_k x[k]h[n - k]z^{-n} = \sum_k x[k]z^{-k}\sum_n h[n - k]z^{-(n - k)} = X(z)H(z)$ .

Teorema (valori iniziale e finale). $x[0] = \lim_{z\to\infty}X(z)$ . Se i poli di $(z - 1)X(z)$ stanno dentro il cerchio unitario, $\lim_{n\to\infty}x[n] = \lim_{z\to 1}(z - 1)X(z)$ .

Dimostrazione. Il primo: per $z \to \infty$ tutti i termini $x[n]z^{-n}$ con $n \ge 1$ tendono a 0. Il secondo: $\mathcal Z\{x[n + 1] - x[n]\} = (z - 1)X(z) - zx[0]$ . Per $z \to 1$ il primo membro tende a $\sum_{n=0}^{\infty}(x[n + 1] - x[n]) = \lim x[n] - x[0]$ (serie telescopica), quindi $\lim_{z\to 1}(z - 1)X = \lim x[n]$ . ∎

L’antitrasformata: tre metodi

1. Fratti semplici di $X(z)/z$ . Si scompone $\frac{X(z)}{z}$ e si rimoltiplica per $z$ , così ogni termine è $\frac{Az}{z - p} \leftrightarrow A\,p^n$ . Per un polo doppio, $\frac{Az}{(z - p)^2} \leftrightarrow A\,n\,p^{n-1}$ .

2. Divisione lunga. Si divide il numeratore per il denominatore secondo le potenze di $z^{-1}$ : i coefficienti del quoziente sono i campioni. Non dà una formula chiusa, ma è esattamente ciò che fa il processore eseguendo l’equazione alle differenze.

3. Residui. $x[n] = \sum\text{Res}\left(X(z)z^{n-1}\right)$ nei poli di $X(z)z^{n-1}$ : è la formula d’inversione, un integrale lungo una circonferenza nella regione di convergenza (lezioni sulla formula di Cauchy e sui residui).

La stabilità, dimostrata

Un sistema discreto è stabile (BIBO: ingresso limitato, uscita limitata) se e solo se la risposta impulsiva è sommabile, $\sum|h[n]| \lt \infty$ .

Teorema. Un sistema con $H(z)$ razionale è stabile se e solo se tutti i poli hanno modulo minore di 1.

Dimostrazione. Con i fratti semplici, $h[n]$ è una combinazione di termini $n^kp^n$ , uno per ogni polo $p$ ( $k$ minore della molteplicità). Se $|p| \lt 1$ , $\sum n^k|p|^n$ converge (criterio del rapporto: il rapporto tende a $|p| \lt 1$ ), e la somma di un numero finito di serie convergenti converge. Se invece un polo ha $|p| \ge 1$ , il termine corrispondente non tende a zero (per $|p| = 1$ ha modulo costante o crescente), quindi $h[n]$ non è sommabile. Infine, se $\sum|h| = S$ e $|x| \le M$ , $|y[n]| = \left|\sum h[k]x[n - k]\right| \le MS$ : uscita limitata. ∎

Risposte di un polo reale positivo e di uno negativo — A sinistra il polo in 0,8 produce una sequenza che decresce senza cambiare segno; a destra il polo in meno 0,8 produce una sequenza che alterna il segno a ogni campione, con la stessa velocità di smorzamento.

Un polo negativo non ha un analogo continuo: produce un’oscillazione alla frequenza di Nyquist (un campione su e uno giù). I poli complessi $re^{\pm i\theta}$ producono $r^n\cos(n\theta + \varphi)$ : smorzamento dato dal modulo, frequenza dall’angolo.

Risposta di una coppia di poli complessi — Con poli di modulo 0,9 e angolo pi greco quinti la sequenza oscilla con un periodo di 10 campioni dentro l’inviluppo 0,9 alla n, tratteggiato.

In pratica, per verificare la stabilità senza calcolare i poli si usa il criterio di Jury (lezione di Controllo digitale), oppure la trasformazione bilineare $z = \frac{1 + w}{1 - w}$ , che porta il cerchio unitario nel semipiano sinistro di $w$ , e poi il criterio di Routh.

Dal piano s al piano z

Campionando con periodo $T$ , un polo continuo $s_k$ diventa il polo discreto $z_k = e^{s_kT}$ (il termine $e^{s_kt}$ campionato è $\left(e^{s_kT}\right)^n$ ). Con $s = \sigma + i\omega$ : $|z| = e^{\sigma T}$ e $\arg z = \omega T$ .

il semipiano sinistro ( $\sigma \lt 0$ ) va dentro il cerchio unitario, l’asse immaginario sulla circonferenza;
una retta verticale $\sigma = \sigma_1$ va in una circonferenza di raggio $e^{\sigma_1T}$ : tempo di assestamento costante;
la mappa non è iniettiva: $s$ e $s + i\frac{2\pi}{T}$ vanno nello stesso $z$ . Tutta la striscia $|\omega| \lt \pi/T$ copre già il piano $z$ , e le frequenze fuori da quella striscia si confondono con quelle dentro: è l’aliasing, visto dal piano complesso.

La mappa z uguale a e alla s T — La striscia orizzontale del semipiano sinistro compresa tra meno pi su T e pi su T, in verde, va nel cerchio unitario. Una retta verticale di ascissa sigma 1, in viola, va in una circonferenza di raggio e alla sigma 1 per T.

Discretizzare: ZOH, Eulero, Tustin

Un regolatore progettato in continuo, $C(s)$ , va trasformato in un $C(z)$ da eseguire sul processore. I metodi principali:

Mantenitore di ordine zero (ZOH). È il modello esatto di un processo continuo $G(s)$ comandato da un convertitore D/A che tiene l’uscita costante tra due campioni:

$G(z) = (1 - z^{-1})\,\mathcal Z\left\{\frac{G(s)}{s}\right\}$

Dimostrazione. L’impulso discreto, dopo il mantenitore, è un gradino di durata $T$ : $u(t) - u(t - T)$ . La sua uscita è la risposta al gradino $g_1(t) = \mathcal L^{-1}\{G(s)/s\}$ meno la stessa ritardata di $T$ . Campionata e trasformata, dà $\mathcal Z\{g_1\} - z^{-1}\mathcal Z\{g_1\}$ . ∎

Per $G = \frac{a}{s + a}$ : $\frac{G}{s} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s + a}$ , quindi $G(z) = (1 - z^{-1})\left(\frac{z}{z - 1} - \frac{z}{z - e^{-aT}}\right) = \frac{1 - e^{-aT}}{z - e^{-aT}}$ . Il polo è proprio $e^{-aT}$ .

Il mantenitore di ordine zero — L’uscita del convertitore resta costante tra due istanti di campionamento, formando una scala, mentre la risposta continua, tratteggiata, cambia con continuità; nei punti di campionamento i due valori coincidono.

Eulero in avanti: $s \approx \frac{z - 1}{T}$ (derivata approssimata con la differenza in avanti). Eulero all’indietro: $s \approx \frac{z - 1}{Tz}$ . Tustin (trasformazione bilineare, metodo dei trapezi): $s \approx \frac{2}{T}\cdot\frac{z - 1}{z + 1}$ .

Teorema. Tustin porta il semipiano sinistro esattamente nel cerchio unitario: un regolatore continuo stabile resta stabile per ogni $T$ . Eulero in avanti no: un polo continuo stabile diventa instabile se $T$ è troppo grande.

Dimostrazione. Tustin: $z = \frac{1 + sT/2}{1 - sT/2}$ . Con $\text{Re}\,s \lt 0$ , il numeratore è più vicino all’origine del denominatore (sono simmetrici rispetto all’asse immaginario, $1 + sT/2$ sta a sinistra), quindi $|z| \lt 1$ . Eulero in avanti: $z = 1 + sT$ . Il cerchio $|z| \lt 1$ corrisponde in $s$ al cerchio $|s + 1/T| \lt 1/T$ : solo i poli dentro quel cerchio restano stabili. Un polo reale $s = -a$ diventa $1 - aT$ , instabile per $T \gt 2/a$ . ∎

Regioni di stabilità di Eulero in avanti e all'indietro — A sinistra Eulero in avanti: sono stabili solo i poli continui dentro il cerchio verde di centro meno 1 su T, che è solo una parte del semipiano sinistro. A destra Eulero all’indietro: è stabile tutto il piano tranne il cerchio rosso di centro 1 su T.

Il prezzo di Tustin: la distorsione delle frequenze. Sulla circonferenza $z = e^{i\omega_dT}$ , la sostituzione dà $s = i\frac{2}{T}\tan\frac{\omega_dT}{2}$ : la pulsazione digitale $\omega_d$ corrisponde alla pulsazione analogica $\omega_a = \frac{2}{T}\tan\frac{\omega_dT}{2}$ . Per $\omega_dT$ piccolo le due coincidono; vicino a Nyquist la tangente esplode. Per far coincidere una frequenza importante (per esempio la frequenza di taglio di un filtro, o di incrocio di un regolatore) si usa il prewarping: si progetta il continuo alla frequenza $\omega_a$ corretta.

Distorsione delle frequenze della trasformazione di Tustin — La curva rossa lega la pulsazione digitale a quella analogica: per pulsazioni basse coincide con la bisettrice tratteggiata, poi cresce sempre più in fretta fino all’infinito alla frequenza di Nyquist.

La risposta in frequenza dei sistemi discreti

Con $z = e^{i\omega T}$ , $H(e^{i\omega T})$ è la risposta in frequenza, periodica di periodo $\frac{2\pi}{T}$ e (per coefficienti reali) simmetrica: basta guardarla tra 0 e la frequenza di Nyquist $\omega T = \pi$ . La media mobile a due campioni $\frac{1 + z^{-1}}{2}$ ha modulo $|\cos\frac{\omega T}{2}|$ , zero a Nyquist; il filtro esponenziale $\frac{1 - a}{1 - az^{-1}}$ con $a = 0{,}9$ è un passa basso molto più selettivo, ma con una retroazione (IIR).

Risposta in frequenza di due filtri digitali — Il modulo della media mobile a due campioni, in blu, scende lentamente fino a zero alla frequenza di Nyquist; quello del filtro esponenziale con a uguale a 0,9, in rosso, scende molto più in fretta.

Un esempio in Python

Con la libreria gratuita python-control (in MATLAB le funzioni hanno quasi gli stessi nomi: tf, c2d, step) si discretizza un sistema e si confrontano i metodi:

import control as ct

T = 0.1                                  # periodo di campionamento [s]
G = ct.tf([2], [1, 2])                   # G(s) = 2/(s + 2)
Gzoh = ct.sample_system(G, T, method='zoh')
Gtus = ct.sample_system(G, T, method='tustin')
print(Gzoh)                              # 0.1813 / (z - 0.8187)
print(Gtus)                              # (0.09091 z + 0.09091) / (z - 0.8182)
print(ct.poles(Gzoh))                    # [0.8187] = exp(-2*0.1)

Il polo ZOH è esattamente $e^{-2\cdot 0{,}1} = 0{,}8187$ ; quello di Tustin, $\frac{1 - 0{,}1}{1 + 0{,}1} = 0{,}8182$ , è molto vicino perché $aT = 0{,}2$ è piccolo. In MATLAB: G = tf(2,[1 2]); Gz = c2d(G, 0.1, 'zoh').

Le tabelle da ricordare

Trasformate (sequenze nulle per $n \lt 0$ )

$x[n]$	$X(z)$
$\delta[n]$	1
$\delta[n - k]$	$z^{-k}$
$u[n]$	$\dfrac{z}{z - 1}$
$n$	$\dfrac{z}{(z - 1)^2}$
$a^n$	$\dfrac{z}{z - a}$
$n\,a^n$	$\dfrac{az}{(z - a)^2}$
$\cos n\theta$	$\dfrac{z(z - \cos\theta)}{z^2 - 2z\cos\theta + 1}$
$\sin n\theta$	$\dfrac{z\sin\theta}{z^2 - 2z\cos\theta + 1}$
$r^n\cos n\theta$	$\dfrac{z(z - r\cos\theta)}{z^2 - 2rz\cos\theta + r^2}$
$r^n\sin n\theta$	$\dfrac{zr\sin\theta}{z^2 - 2rz\cos\theta + r^2}$

Proprietà: $x[n - k] \leftrightarrow z^{-k}X$ ; $x[n + 1] \leftrightarrow zX - zx[0]$ ; $a^nx[n] \leftrightarrow X(z/a)$ ; $nx[n] \leftrightarrow -zX'(z)$ ; $x * h \leftrightarrow XH$ ; $\sum_{k=0}^{n}x[k] \leftrightarrow \frac{z}{z - 1}X$ ; valore iniziale $x[0] = \lim_{z\to\infty}X$ ; valore finale $\lim_{z\to 1}(z - 1)X$ .

Discretizzazioni

Metodo	Sostituzione	Stabilità conservata	Note
ZOH	$G(z) = (1 - z^{-1})\mathcal Z\{G(s)/s\}$	sì, esatta	modello del processo con D/A
Eulero in avanti	$s = \frac{z - 1}{T}$	no	semplice, richiede $T$ piccolo
Eulero all’indietro	$s = \frac{z - 1}{Tz}$	sì	introduce smorzamento
Tustin	$s = \frac{2}{T}\frac{z - 1}{z + 1}$	sì	distorce le frequenze, si usa il prewarping
Corrispondenza poli-zeri	$z = e^{sT}$ per poli e zeri	sì	va aggiustato il guadagno

Gli esercizi, con equazioni alle differenze, filtri, stabilità e discretizzazioni, sono nella pagina degli esercizi collegata in cima.

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Le proprietà, dimostrate

L’antitrasformata: tre metodi

La stabilità, dimostrata

Dal piano s al piano z

Discretizzare: ZOH, Eulero, Tustin

La risposta in frequenza dei sistemi discreti

Un esempio in Python

Le tabelle da ricordare

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