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Metodi Matematici

Esercizi su integrale complesso e formula integrale di Cauchy svolti

Nove esercizi con soluzione e contorno disegnato: funzioni olomorfe e non, formula integrale, formula delle derivate, stime ML, stima di Cauchy, Liouville, massimo modulo.

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Esercizi sull’integrale complesso, sul teorema e sulla formula integrale di Cauchy del tipo che si danno nei corsi di Metodi matematici e di Analisi complessa, in tre livelli: base, con il calcolo diretto e il teorema di Cauchy; medio, con la formula integrale e la formula delle derivate; esame, con le stime, il teorema di Liouville e il principio del massimo modulo. Il risultato è indicato subito; la soluzione completa, con il disegno del contorno, si apre con un clic. Le dimostrazioni sono nell’approfondimento collegato in cima; gli integrali reali calcolati con i residui sono in una pagina di esercizi a parte.

Livello base

Esercizio 1. Olomorfa o no

Calcola \oint_{|z| = 1}\bar z\,dz e \oint_{|z| = 1}z^2\,dz, percorrendo la circonferenza in senso antiorario. Perché i risultati sono diversi?

Risultato: 2\pi i e 0.

Soluzione

Con z = e^{it}, dz = ie^{it}dt, \bar z = e^{-it}:

    \[ \oint\bar z\,dz = \int_0^{2\pi}e^{-it}\,ie^{it}dt = 2\pi i,\qquad \oint z^2\,dz = \int_0^{2\pi}e^{2it}\,ie^{it}dt = i\int_0^{2\pi}e^{3it}dt = 0 \]

z^2 è olomorfa (ha la primitiva z^3/3), e il teorema di Cauchy garantisce integrale nullo. \bar z non è olomorfa: con z = x + iy, \bar z = x - iy ha u = x, v = -y, e la condizione di Cauchy-Riemann u_x = v_y dà 1 = -1, falsa. Sulla circonferenza unitaria \bar z = 1/z, ed è per questo che l’integrale coincide con quello di 1/z.

La circonferenza unitaria
Il contorno di integrazione, percorso in senso antiorario.

Esercizio 2. La formula integrale

Calcola \displaystyle\oint_{|z| = 2}\frac{\sin z}{z - \pi/2}\,dz.

Risultato: 2\pi i.

Soluzione

\sin z è olomorfa ovunque e il punto \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57 è dentro la circonferenza di raggio 2. Formula integrale con f = \sin z, z_0 = \frac{\pi}{2}: l’integrale vale 2\pi i\,f(z_0) = 2\pi i\sin\frac{\pi}{2} = 2\pi i.

Se la circonferenza avesse raggio 1, il punto sarebbe fuori e l’integrale sarebbe 0 (teorema di Cauchy).

Il punto pi mezzi dentro la circonferenza di raggio 2
Il contorno racchiude la singolarità in pi mezzi, segnata con una croce rossa.

Esercizio 3. Una singolarità dentro e una fuori

Calcola \displaystyle\oint_{|z| = 2}\frac{z}{(z - 1)(z + 3)}\,dz.

Risultato: \frac{\pi i}{2}.

Soluzione

Le singolarità sono 1 (dentro) e -3 (fuori). Si scrive l’integranda come \frac{f(z)}{z - 1} con f(z) = \frac{z}{z + 3}, olomorfa dentro il cerchio. Formula integrale: 2\pi i\,f(1) = 2\pi i\cdot\frac{1}{4} = \frac{\pi i}{2}.

Con il raggio 4 entrambe sarebbero dentro, e il risultato sarebbe 2\pi i\left(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}\right) = 2\pi i (i residui in 1 e -3 sono \frac{1}{4} e \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}).

Singolarità dentro e fuori dal contorno
Il polo in 1, in rosso, è dentro la circonferenza di raggio 2; quello in meno 3, in grigio, è fuori e non contribuisce.

Livello medio

Esercizio 4. La formula delle derivate

Calcola \displaystyle\oint_{|z| = 3}\frac{e^{2z}}{(z - 1)^3}\,dz.

Risultato: 4\pi i\,e^2.

Soluzione

Formula delle derivate con n = 2: \oint\frac{f(z)}{(z - z_0)^3}dz = \frac{2\pi i}{2!}f''(z_0), con f = e^{2z} e z_0 = 1 (dentro).

f''(z) = 4e^{2z}, f''(1) = 4e^2. Integrale: \pi i\cdot 4e^2 = 4\pi i\,e^2.

Errore tipico: dimenticare il fattoriale, o usare la derivata prima con un denominatore al cubo. La potenza del denominatore è n + 1.

Il polo triplo in 1
La circonferenza di raggio 3 racchiude il punto 1, dove l’integranda ha un polo di ordine 3.

Esercizio 5. Un cerchio non centrato nell’origine

Calcola \displaystyle\oint_{|z - i| = 1}\frac{dz}{z^2 + 1}. Quanto vale lo stesso integrale su |z| = 2?

Risultato: \pi; su |z| = 2 vale 0.

Soluzione

z^2 + 1 = (z - i)(z + i). La circonferenza di centro i e raggio 1 contiene i ma non -i (che dista 2 dal centro). Con f = \frac{1}{z + i}: 2\pi i\,f(i) = 2\pi i\cdot\frac{1}{2i} = \pi.

Su |z| = 2 entrambe sono dentro: residui \frac{1}{2i} e \frac{1}{-2i}, somma nulla, integrale 0. Lo si poteva prevedere: per |z| grande \frac{1}{z^2 + 1} \approx \frac{1}{z^2}, e un grande cerchio dà integrale che tende a 0 per la stima ML; per la deformazione dei contorni, ogni cerchio che contiene entrambi i poli dà lo stesso valore, quindi 0.

Una circonferenza di centro i
Il contorno racchiude il polo in i, in rosso, e lascia fuori quello in meno i, in grigio.

Esercizio 6. Una stima ML

Mostra che, per R \gt 1, \left|\displaystyle\int_{C_R}\frac{dz}{z^2 + 1}\right| \le \dfrac{\pi R}{R^2 - 1}, dove C_R è la semicirconferenza superiore di raggio R, e deduci il limite per R \to \infty.

Risultato: la stima segue dalla disuguaglianza triangolare inversa; il limite è 0.

Soluzione

Su |z| = R: |z^2 + 1| \ge |z|^2 - 1 = R^2 - 1 (disuguaglianza triangolare inversa |a + b| \ge |a| - |b|). Quindi \left|\frac{1}{z^2 + 1}\right| \le \frac{1}{R^2 - 1} = M. La lunghezza della semicirconferenza è L = \pi R. Stima ML: \le\frac{\pi R}{R^2 - 1} \to 0.

È il passaggio che, nell’approfondimento sui residui, permette di calcolare \int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x^2 + 1} = \pi chiudendo con il semicerchio.

La semicirconferenza C R
Per R grande il contributo dell’arco tende a zero e resta solo l’integrale sull’asse reale.

Livello esame

Esercizio 7. La stima di Cauchy

Una funzione f è olomorfa nel disco |z| \le 2 e |f(z)| \le 5 sulla circonferenza |z| = 2. Quanto può valere al massimo |f'''(0)|? Il limite è raggiunto?

Risultato: |f'''(0)| \le \frac{15}{4} = 3{,}75; sì, per f(z) = \frac{5}{8}z^3.

Soluzione

Stima di Cauchy (approfondimento): |f^{(n)}(z_0)| \le \frac{n!\,M}{R^n} = \frac{6\cdot 5}{8} = 3{,}75.

È raggiunta da f = \frac{5}{8}z^3: su |z| = 2, |f| = \frac{5}{8}\cdot 8 = 5, e f''' = \frac{5}{8}\cdot 6 = 3{,}75.

Significato: una funzione olomorfa limitata su un disco grande non può oscillare in fretta al centro. Le derivate sono controllate dai valori sul bordo.

Disco di raggio assegnato
La stima usa i valori di f sulla circonferenza per controllare le derivate al centro.

Esercizio 8. Una conseguenza di Liouville

Sia f olomorfa su tutto \mathbb C con \text{Re}\,f(z) \le 0 per ogni z. Dimostra che f è costante.

Risultato: si applica Liouville a g = e^{f}, che ha modulo al massimo 1.

Soluzione

f non è necessariamente limitata (la parte immaginaria può crescere), quindi Liouville non si applica direttamente. Si considera g(z) = e^{f(z)}: è olomorfa su tutto \mathbb C (composizione di olomorfe) e |g| = e^{\text{Re}\,f} \le e^0 = 1. Per Liouville g è costante.

Allora g' = f'e^{f} = 0, e poiché e^{f} non si annulla mai, f' = 0 ovunque: f è costante.

È lo schema tipico: si trasforma la funzione con un’altra (esponenziale, inversa, \frac{1}{f - c}) per ottenere una funzione limitata.

Esercizio 9. Il massimo modulo

Trova il massimo di |z^2 + 3z - 1| sul disco |z| \le 1 e il punto in cui è raggiunto.

Risultato: \sqrt{13} \approx 3{,}61, in z = i (e in z = -i).

Soluzione

Il polinomio è olomorfo: per il principio del massimo modulo il massimo sta sulla circonferenza |z| = 1. Con z = e^{it}, z^2 + 3z - 1 = e^{it}\left(e^{it} + 3 - e^{-it}\right) = e^{it}(3 + 2i\sin t). Il modulo è |3 + 2i\sin t| = \sqrt{9 + 4\sin^2 t}, massimo per \sin t = \pm 1, cioè z = \pm i: \sqrt{13}.

Verifica: in z = i, i^2 + 3i - 1 = -2 + 3i, modulo \sqrt{13}. Invece in z = 1, il valore più “naturale” da provare, si ha solo 3.

Il punto di massimo sul bordo del disco
Il massimo del modulo si trova sulla circonferenza unitaria, nel punto i segnato in viola, e non all’interno del disco.

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