Funzioni di variabile complessa: derivata, Cauchy-Riemann e funzioni elementari
Funzioni come trasformazioni del piano, derivata complessa, dimostrazione delle equazioni di Cauchy-Riemann, funzioni armoniche, trasformazioni conformi, esponenziale e logaritmo complessi.
Nei corsi di Analisi le funzioni erano reali. Metodi matematici estende il calcolo ai numeri complessi, e la scoperta sorprendente è che una funzione derivabile in senso complesso è molto più “rigida” di una funzione reale: basta conoscerla su un piccolo pezzo di piano per conoscerla ovunque. Da questa rigidità nascono strumenti potentissimi per calcolare integrali, studiare la stabilità dei sistemi e analizzare i circuiti. In questa lezione vediamo le funzioni di variabile complessa, la derivata, le equazioni di Cauchy-Riemann e le funzioni elementari.
Funzioni di variabile complessa
Una funzione 
associa a 
un numero complesso 
. Equivale quindi a due funzioni reali di due variabili, la parte reale 
e la parte immaginaria 
. Non si può disegnarne il grafico (servirebbero quattro dimensioni), quindi si rappresenta come una trasformazione di una regione del piano 
in una regione del piano 
.
Esempio. 
, quindi 
e 
. In forma polare 
: il modulo si eleva al quadrato e l’angolo raddoppia. Il primo quadrante diventa il semipiano superiore.
trasforma le rette verticali (blu) e orizzontali (rosse) del piano in due famiglie di parabole nel piano . Le curve trasformate si incontrano ancora ad angolo retto: le funzioni olomorfe conservano gli angoli.La derivata complessa
La definizione è la stessa del caso reale:
![\[ f'(z_0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2c928bfd1532628c61bdc9a3b8019a2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ma ora 
è un numero complesso e può tendere a zero da tutte le direzioni del piano. Il limite deve essere lo stesso per tutte: è una richiesta molto più forte della derivabilità reale. Una funzione derivabile in tutti i punti di un aperto si dice olomorfa (o analitica).
Un controesempio. 
. Con reale il rapporto incrementale vale 
, con immaginario puro vale 
. Il limite non esiste in nessun punto: il coniugio, una funzione semplicissima e perfettamente “liscia” come trasformazione del piano, non è derivabile in senso complesso.
Le equazioni di Cauchy-Riemann
Dimostrazione
Se 
è derivabile in 
, calcoliamo il limite lungo due direzioni particolari. Con reale:
![\[ f'(z_0) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\,\frac{\partial v}{\partial x} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-58a320509cb6501df76a93edf5bfebc9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Con 
immaginario puro:
![\[ f'(z_0) = \frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y} + i\,\frac{\partial v}{\partial y}\right) = \frac{\partial v}{\partial y} - i\,\frac{\partial u}{\partial y} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a1a0d76ec35322dce3223b3c4f419cd7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
I due risultati devono coincidere. Uguagliando parti reali e immaginarie si ottengono le equazioni di Cauchy-Riemann:
![\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0185ee369dcc0b3d89a9dfec1b6a401a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Vale anche il viceversa: se e hanno derivate parziali continue che soddisfano queste equazioni, 
è olomorfa.
Verifica su 
: 
, 
. Su 
: 
, 
. Non sono uguali, come previsto.
Funzioni armoniche
Derivando la prima equazione rispetto a 
, la seconda rispetto a 
e sommando, i termini misti si cancellano (teorema di Schwarz):
![\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-82c781f6ed17419449e3949350a2424e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La parte reale (e così quella immaginaria) di una funzione olomorfa soddisfa l’equazione di Laplace: è una funzione armonica. È l’equazione del potenziale elettrostatico in una regione senza cariche, della temperatura in regime stazionario, del potenziale di velocità di un fluido ideale. Per questo le funzioni olomorfe sono uno strumento classico per calcolare campi in geometrie piane: si trova una trasformazione che porta la geometria difficile in una semplice, si risolve lì e si torna indietro.
Le curve 
e 
sono ortogonali tra loro: in elettrostatica le une sono le equipotenziali, le altre le linee di campo.
Le trasformazioni conformi
Dove 
, una funzione olomorfa si comporta localmente come la moltiplicazione per il numero complesso 
: dilata di 
e ruota di 
. Quindi conserva gli angoli tra le curve, come si vede nella figura: è una trasformazione conforme. Le carte di Mercatore e la carta di Smith usata per l’adattamento d’impedenza nei circuiti a radiofrequenza sono trasformazioni conformi.
Le funzioni elementari
L’esponenziale. 
, dalla formula di Eulero. È olomorfa ovunque, con 
. Ma, diversamente dal caso reale, è periodica di periodo 
: 
. E non si annulla mai.
Seno e coseno. 
, 
. In campo complesso non sono limitati: 
cresce senza limiti. Un’equazione come 
, impossibile tra i reali, ha soluzioni complesse.
Il logaritmo. Si cerca tale che 
. Scrivendo 
:
![\[ \log z = \ln r + i(\theta + 2k\pi),\qquad k\in\mathbb Z \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d73c9b59f8682ea3284cc004572f360b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il logaritmo complesso è a più valori, perché l’argomento è definito a meno di multipli di 
. Per avere una funzione vera si sceglie un ramo, per esempio con 
(ramo principale), e si taglia il piano lungo il semiasse reale negativo: attraversando il taglio la funzione salta di . Esempio: 
nel ramo principale, cioè 
.
Le potenze. 
, anch’esse in generale a più valori. Per esempio 
(ramo principale): un numero reale.
