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Metodi Matematici

Integrale complesso, teorema di Cauchy e formula integrale di Cauchy

Integrale lungo una curva, dimostrazione del teorema di Cauchy con Green, deformazione dei cammini, formula integrale, derivate di ogni ordine, Liouville e teorema fondamentale dell'algebra.

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L’integrale lungo una curva nel piano complesso è il centro di tutta la teoria. Il teorema di Cauchy dice che per le funzioni olomorfe l’integrale lungo una curva chiusa è zero, e la formula integrale di Cauchy dice che i valori di una funzione dentro una curva sono determinati dai suoi valori sulla curva. Da qui seguono risultati che non hanno equivalenti nel caso reale, come il fatto che una funzione derivabile una volta lo è infinite volte.

L’integrale complesso

Sia \gamma una curva regolare parametrizzata da z(t), t\in[a, b]. L’integrale di f lungo \gamma è

    \[ \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(z(t))\,z'(t)\,dt \]

Scrivendo f = u + iv e dz = dx + i\,dy si vede che è una combinazione di integrali curvilinei di Analisi 2:

    \[ \int_\gamma f\,dz = \int_\gamma(u\,dx - v\,dy) + i\int_\gamma(v\,dx + u\,dy) \]

L’esempio fondamentale. Sia \gamma la circonferenza di centro z_0 e raggio r, percorsa una volta in senso antiorario: z = z_0 + re^{it}, dz = ire^{it}dt. Allora

    \[ \oint_\gamma\frac{dz}{z - z_0} = \int_0^{2\pi}\frac{ire^{it}}{re^{it}}\,dt = 2\pi i \]

e, per ogni intero n \ne -1, \oint_\gamma(z - z_0)^n\,dz = \int_0^{2\pi}ir^{n+1}e^{i(n+1)t}\,dt = 0. Questi due integrali sono la chiave di tutta la lezione e della successiva.

Stima utile. \left|\int_\gamma f\,dz\right| \le M\cdot L, dove M è il massimo di |f| sulla curva e L la sua lunghezza.

Il teorema di Cauchy

Teorema. Se f è olomorfa in un dominio semplicemente connesso D, allora per ogni curva chiusa \gamma contenuta in D

    \[ \oint_\gamma f(z)\,dz = 0 \]

Dimostrazione (con l’ipotesi che f' sia continua)

Applichiamo il teorema di Green di Analisi 2 ai due integrali curvilinei, con R la regione racchiusa da \gamma:

    \[ \oint(u\,dx - v\,dy) = \iint_R\left(-\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}\right)dx\,dy,\qquad \oint(v\,dx + u\,dy) = \iint_R\left(\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y}\right)dx\,dy \]

Per le equazioni di Cauchy-Riemann entrambi gli integrandi sono zero. Goursat dimostrò poi che l’ipotesi di continuità di f' non serve.

Conseguenze.

  • L’integrale tra due punti non dipende dal percorso, e f ha una primitiva F con F' = f.
  • Una curva si può deformare liberamente senza cambiare l’integrale, purché non attraversi punti in cui f non è olomorfa. Nella figura, l’integrale lungo \gamma è uguale alla somma degli integrali lungo le piccole circonferenze attorno alle singolarità interne z_1 e z_2; la singolarità esterna z_3 non conta.
Una curva chiusa nel piano complesso che racchiude due singolarità e ne lascia fuori una terza
La curva \gamma, percorsa in senso antiorario, racchiude le singolarità z_1 e z_2 ma non z_3. Per il teorema di Cauchy, l’integrale lungo \gamma si può sostituire con quelli lungo le piccole circonferenze tratteggiate attorno a z_1 e z_2.

Perché serve l’olomorfia. Con f(z) = 1/z e la circonferenza unitaria l’integrale vale 2\pi i, non zero: la funzione non è olomorfa nell’origine, che sta dentro la curva. È lo stesso fenomeno del campo con il “buco” visto in Analisi 2 per i campi conservativi.

La formula integrale di Cauchy

Teorema. Se f è olomorfa dentro e su una curva chiusa semplice \gamma percorsa in senso antiorario, e z_0 è interno a \gamma, allora

    \[ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z - z_0}\,dz \]

Dimostrazione

La funzione \frac{f(z)}{z - z_0} è olomorfa tranne in z_0, quindi si può deformare \gamma in una circonferenza piccolissima di raggio r attorno a z_0. Scriviamo

    \[ \oint\frac{f(z)}{z - z_0}dz = f(z_0)\oint\frac{dz}{z - z_0} + \oint\frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}dz \]

Il primo termine vale 2\pi i\,f(z_0). Nel secondo, il numeratore tende a zero per la continuità di f, e la stima M\cdot L dà al massimo \frac{\max|f(z) - f(z_0)|}{r}\cdot 2\pi r, che tende a zero con r. Essendo l’integrale indipendente da r, il secondo termine è esattamente zero.

Il significato. I valori di f dentro la curva sono determinati dai valori sulla curva. Per una circonferenza di centro z_0, la formula dice che f(z_0) è la media dei valori sulla circonferenza (proprietà della media): è lo stesso fatto per cui la temperatura stazionaria al centro di un disco è la media di quella sul bordo.

Le conseguenze

Derivate di ogni ordine. Derivando la formula sotto il segno di integrale rispetto a z_0:

    \[ f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}\,dz \]

Una funzione olomorfa ha derivate di tutti gli ordini, tutte olomorfe. Nel caso reale non è affatto così: x|x| ha derivata prima ma non seconda.

Teorema di Liouville. Una funzione olomorfa su tutto \mathbb C e limitata è costante. Con la formula per f' su una circonferenza di raggio R, |f'(z_0)| \le \frac{M}{R}, che tende a zero per R\to\infty. È anche il motivo per cui seno e coseno complessi non possono essere limitati.

Il teorema fondamentale dell’algebra. Ogni polinomio non costante p(z) ha almeno una radice complessa. Se non ne avesse, 1/p(z) sarebbe olomorfa su tutto il piano e limitata (perché |p(z)|\to\infty per |z|\to\infty), quindi costante per Liouville: assurdo. Ne segue che un polinomio di grado n ha esattamente n radici complesse, contate con la molteplicità. È il risultato che garantisce che il polinomio caratteristico di ogni circuito o sistema lineare abbia sempre i suoi poli.

Esempio di calcolo. \oint_{|z| = 2}\frac{e^z}{z - 1}dz: la funzione e^z è olomorfa ovunque e z_0 = 1 è dentro la circonferenza, quindi l’integrale vale 2\pi i\,e.

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