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Sistemi Radar

Esercizi svolti di sistemi radar: equazione radar in dB, Doppler, compressione, velocità cieche, schiere, clutter, FMCW e SAR

Dieci esercizi in tre livelli con soluzione passo per passo e grafico: distanza e seconda traccia, bilancio in decibel, Doppler, compressione d'impulso, PRF scaglionate, bersagli fluttuanti, progetto di una schiera, MTI e rumore di fase, radar FMCW per auto, un SAR satellitare reale.

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Esercizi sui sistemi radar del tipo che si trovano negli esami, in tre livelli: base, con le formule fondamentali (distanza, equazione radar in decibel, Doppler, compressione d’impulso); medio, con le scelte di progetto (velocità cieche, rivelazione, schiere, clutter); esame, con il progetto di un radar automotive e l’analisi di un SAR satellitare reale. Le costanti: c = 3\cdot 10^8 m/s, kT_0 = -174 dBm/Hz. Il risultato è indicato subito; la soluzione completa, passo per passo e con il grafico, si apre con un clic. Le dimostrazioni delle formule sono nelle lezioni del corso.

Livello base

Esercizio 1. Distanza e ambiguità

Un radar riceve un’eco 400 μs dopo aver trasmesso un impulso. A che distanza è il bersaglio? Se il radar trasmette con PRF di 2 kHz, qual è la distanza non ambigua, e dove appare un bersaglio che si trova a 90 km?

Risultato: 60 km; 75 km; il bersaglio a 90 km appare a 15 km.

Soluzione

1. L’onda fa andata e ritorno: R = \frac{c\tau}{2} = \frac{3\cdot 10^8\cdot 400\cdot 10^{-6}}{2} = 60 km. Una regola comoda da ricordare: 150 m per microsecondo, quindi 400 μs danno 400\cdot 150 = 60\,000 m.

2. Tra due impulsi passano 1/PRF = 500 μs. Un’eco che arriva prima del successivo impulso viene attribuita correttamente; la distanza massima non ambigua è R_{amb} = \frac{c}{2\,PRF} = \frac{3\cdot 10^8}{4000} = 75 km.

3. Il bersaglio a 90 km risponde dopo 2\cdot 90\,000/c = 600 μs, cioè 100 μs dopo l’impulso successivo. Il radar lo attribuisce a quell’impulso e lo mette a 100\cdot 0{,}15 = 15 km: 90 - 75 = 15 km. È un “bersaglio di seconda traccia”. Per smascherarlo si cambia la PRF da un gruppo di impulsi all’altro: un bersaglio vero resta alla stessa distanza, quello di seconda traccia salta.

Un'eco di seconda traccia
Sull’asse dei tempi due impulsi trasmessi a 500 microsecondi di distanza; l’eco a 600 microsecondi dal primo impulso cade 100 microsecondi dopo il secondo, e il radar la colloca a 15 chilometri invece che a 90.

Esercizio 2. L’equazione radar in decibel

Un radar in banda S (3 GHz) trasmette 100 kW di picco con un’antenna da 30 dB. Calcola la potenza ricevuta da un aereo di 2 m² a 50 km, e il rapporto segnale/rumore con 1 MHz di banda e cifra di rumore di 3 dB.

Risultato: P_r = -97{,}9 dBm; rumore −111,0 dBm; SNR = 13,0 dB.

Soluzione

1. In decibel l’equazione radar P_r = \frac{P_tG^2\lambda^2\sigma}{(4\pi)^3R^4} diventa una somma. Con \lambda = c/f = 0{,}1 m:

terminevaloredB
P_t100 kW+80,0 dBm
G^230 dB due volte+60,0
\lambda^20,01 m²−20,0
\sigma2 m²+3,0
1/(4\pi)^31/1984−33,0
1/R^4R = 5\cdot 10^4 m−188,0

Somma: P_r = -97{,}9 dBm, cioè 1{,}6\cdot 10^{-13} W.

2. Il rumore: N = kT_0 + 10\log_{10}B + F = -174 + 60 + 3 = -111{,}0 dBm.

3. SNR = -97{,}9 - (-111{,}0) = 13{,}0 dB: proprio il valore che serve per P_d = 0{,}9 e P_{fa} = 10^{-6} con un impulso (lezione sulla rivelazione). 50 km è quindi la portata di questo radar per questo aereo, senza integrazione e senza perdite. Con 6 dB di perdite la portata scenderebbe di 10^{-6/40} = 0{,}71 volte, a 35 km; integrando 10 impulsi (circa 8 dB) risalirebbe.

Esercizio 3. Il Doppler di un’auto

Un radar della polizia a 24 GHz misura un’auto che si avvicina a 120 km/h. Qual è lo spostamento Doppler? E se il radar è a lato della strada e vede l’auto con un angolo di 30° rispetto alla direzione di marcia?

Risultato: 5,34 kHz; 4,62 kHz (la velocità misurata sarebbe 104 km/h).

Soluzione

1. \lambda = c/f = 1{,}25 cm, v = 120/3{,}6 = 33{,}3 m/s: f_D = \frac{2v}{\lambda} = \frac{66{,}7}{0{,}0125} = 5{,}34 kHz.

2. Il Doppler vede solo la componente radiale: v_r = v\cos 30° = 28{,}9 m/s, f_D = 4{,}62 kHz. Il radar, se non conosce l’angolo, misura 120\cos 30° = 104 km/h: l’errore di coseno va sempre a favore dell’automobilista (la velocità misurata è minore o uguale a quella vera). Per questo gli autovelox Doppler si installano con angoli piccoli e noti, e la correzione si applica per costruzione.

Esercizio 4. La compressione d’impulso

Un radar trasmette un chirp di 50 μs con 5 MHz di banda. Calcola il rapporto di compressione, la risoluzione in distanza e la zona cieca davanti al radar. Che durata dovrebbe avere un impulso semplice con la stessa risoluzione, e quanta potenza di picco in più servirebbe per avere la stessa energia?

Risultato: BT = 250; 30 m; 7,5 km; impulso di 0,2 μs con potenza di picco 250 volte maggiore (+24 dB).

Soluzione

1. BT = 5\cdot 10^6\cdot 50\cdot 10^{-6} = 250.

2. Dopo il filtro adattato la risoluzione dipende solo dalla banda: \Delta R = \frac{c}{2B} = 30 m.

3. Mentre trasmette, il radar non riceve: la zona cieca è \frac{cT}{2} = 7{,}5 km. Per i bersagli vicini si aggiunge un impulso corto.

4. Un impulso semplice con la stessa risoluzione dura 1/B = 0{,}2 μs; per avere la stessa energia P\cdot T servirebbe una potenza di picco 50/0{,}2 = 250 volte maggiore, cioè 24 dB. È esattamente il vantaggio della compressione.

Livello medio

Esercizio 5. Velocità cieche e PRF scaglionate

Un radar di sorveglianza in banda S (3 GHz) usa un cancellatore MTI a due impulsi. Calcola la prima velocità cieca con PRF di 1000 Hz e di 1250 Hz. Alternando le due PRF, qual è la prima velocità cieca comune? Quanto vale, nell’intervallo da 20 a 240 m/s, la risposta peggiore scegliendo per ogni velocità la migliore delle due PRF?

Risultato: 50 m/s e 62,5 m/s; 250 m/s; 0,68, cioè −3,3 dB rispetto al guadagno unitario.

Soluzione

1. Il cancellatore 1 - z^{-1} ha risposta 2|\sin(\pi f_D/PRF)|, nulla per f_D = k\cdot PRF. Con f_D = 2v/\lambda e \lambda = 0{,}1 m: v_b = k\frac{\lambda\,PRF}{2}, cioè 50 m/s (e multipli) con 1000 Hz, 62,5 m/s con 1250 Hz.

2. Una velocità è cieca per entrambe se è multipla sia di 50 sia di 62,5: il minimo comune multiplo è 250 m/s. Il rapporto tra le PRF, 4:5, moltiplica la prima velocità cieca per 5 rispetto a 1000 Hz. Con tre PRF scelte bene si arriva oltre le velocità dei bersagli d’interesse.

3. Calcolando su una griglia fine il massimo delle due risposte, il valore minimo tra 20 e 240 m/s è 0,68, cioè −3,3 dB, nei punti in cui le due risposte si incrociano (a 55,6 e 194,4 m/s): nessuna velocità d’interesse viene persa, al prezzo di qualche decibel in alcune zone. Sotto i 20 m/s la risposta cala comunque verso zero: è la tacca che elimina il clutter fermo.

Risposta dell'MTI con due PRF
In blu la risposta con PRF 1000 hertz, con zeri ogni 50 metri al secondo; in arancione quella con 1250 hertz, con zeri ogni 62,5; la linea nera è la migliore delle due, che non va mai a zero prima di 250 metri al secondo.

Esercizio 6. Bersaglio costante e bersaglio fluttuante

Con P_{fa} = 10^{-6} e un SNR di 15 dB su un singolo impulso, calcola P_d per un bersaglio costante e per un bersaglio Swerling 1. Con quanti dB per impulso si ottiene P_d = 0{,}9 (bersaglio costante) integrando 10 impulsi in modo non coerente?

Risultato: 0,997 (costante); 0,655 (Swerling 1); 5,0 dB per impulso.

Soluzione

1. Bersaglio costante: la soglia è \eta = \sigma\sqrt{-2\ln P_{fa}} = 5{,}26\,\sigma; con SNR = 31,6 l’ampiezza dell’eco è \sqrt{2\cdot 31{,}6} = 7{,}95\,\sigma, molto sopra la soglia. La funzione di Marcum dà P_d = 0{,}997.

2. Swerling 1: P_d = P_{fa}^{1/(1 + SNR)} = (10^{-6})^{1/32{,}6} = e^{-13{,}82/32{,}6} = 0{,}655. Con lo stesso SNR medio, il bersaglio che fluttua viene perso un terzo delle volte: nelle osservazioni in cui la sua sezione radar è piccola, l’eco sta sotto la soglia.

3. Albersheim con N = 10: SNR = -5\log_{10}10 + \big(6{,}2 + \frac{4{,}54}{\sqrt{10{,}44}}\big)\log_{10}(A + 0{,}12AB + 1{,}7B) = 4{,}99 dB, con A = \ln(0{,}62/10^{-6}) = 13{,}34, B = \ln 9 = 2{,}20. Contro i 13,1 dB di un impulso singolo, l’integrazione guadagna 8,1 dB.

Probabilità di rivelazione in funzione del rapporto segnale/rumore
Con probabilità di falso allarme di un milionesimo: la curva blu, bersaglio costante, sale ripidamente da 10 a 15 decibel; la curva rossa, Swerling 1, sale lentamente e arriva a 0,9 solo a 21 decibel.

Esercizio 7. Progetto di una schiera

Una schiera lineare di 64 elementi è distanziata di 0{,}6\lambda. Fino a che angolo si può puntare senza lobi di reticolo? Quanto è largo il fascio di fronte e a 40°? Che sfasamento tra elementi adiacenti serve per puntare a 40°?

Risultato: 41,8°; 1,32° e 1,73°; 138,8°.

Soluzione

1. Condizione: d \le \frac{\lambda}{1 + |\sin\theta_{max}|}, quindi \sin\theta_{max} \le \frac{1}{0{,}6} - 1 = 0{,}667, \theta_{max} = 41{,}8°. Spaziare gli elementi di più di mezza lunghezza d’onda risparmia moduli (costosi) ma limita il campo di puntamento.

2. \theta_{3dB} \approx \frac{0{,}886\,\lambda}{Nd\cos\theta_0}: di fronte \frac{0{,}886}{38{,}4} = 0{,}0231 rad, cioè 1,32°; a 40° si divide per \cos 40° = 0{,}766: 1,73°.

3. \Delta\varphi = 360°\cdot\frac{d}{\lambda}\sin\theta_0 = 360\cdot 0{,}6\cdot 0{,}643 = 138{,}8°. Con uno sfasatore a 4 bit (passi di 22,5°) si userebbe 135° e un errore residuo che, ripetendosi lungo la schiera, va disperso con una fase casuale nota.

Fattore di schiera a 64 elementi distanziati di 0,6 lunghezze d'onda
In blu il fascio puntato a 40 gradi, senza lobi di reticolo; in arancione puntato a 55 gradi, oltre il limite: compare un lobo di reticolo intorno a meno 60 gradi.

Esercizio 8. Quanto deve cancellare l’MTI

Un radar con fascio di 1,2° e impulso compresso di 0,5 μs guarda un piccolo aereo da turismo di 0,5 m² a 30 km, sopra un terreno con \sigma^0 = -25 dB. Calcola la sezione radar del clutter, il rapporto segnale/clutter, il fattore di miglioramento necessario per avere 13 dB, e il massimo rumore di fase del trasmettitore compatibile.

Risultato: \sigma_c = 149 m² (21,7 dBsm); SCR = −24,7 dB; servono 37,7 dB; rumore di fase sotto 9,2 mrad (0,53°).

Soluzione

1. Area della cella: A_c = R\,\theta_B\,\frac{c\tau}{2} = 30\,000\cdot 0{,}0209\cdot 75 = 47\,100 m². \sigma_c = \sigma^0A_c = 0{,}00316\cdot 47\,100 = 149 m².

2. SCR = 10\log_{10}\frac{0{,}5}{149} = -24{,}7 dB: l’aereo è 300 volte più debole del clutter della sua cella.

3. Per arrivare a +13 dB serve un miglioramento di 13 + 24{,}7 = 37{,}7 dB.

4. Il cancellatore a due impulsi con rumore di fase \sigma_\varphi lascia un residuo 2\sigma_\varphi^2 (lezione su trasmettitori e ricevitori): \frac{1}{2\sigma_\varphi^2} \ge 10^{3{,}77} dà \sigma_\varphi \le 9{,}2 mrad. Un magnetron, con fase casuale, non ce la farebbe neanche con la coerenza in ricezione; serve un trasmettitore coerente con un buon oscillatore. Si noti che ridurre la durata dell’impulso (più banda) rimpicciolisce la cella e migliora direttamente il rapporto segnale/clutter.

Livello esame

Esercizio 9. Progetto di un radar FMCW per auto

Si vuole un radar a 77 GHz con risoluzione in distanza di 15 cm, velocità non ambigua di ±40 m/s, risoluzione in velocità di almeno 0,1 m/s e portata di 100 m. Calcola banda, durata massima della rampa, numero di rampe (potenza di 2), tempo del fotogramma, pendenza della rampa e frequenza di battimento a 100 m.

Risultato: B = 1 GHz; T_c \le 24{,}3 μs; 800 rampe, quindi 1024; 24,9 ms; 41 MHz/μs; 27,4 MHz.

Soluzione

1. \Delta R = \frac{c}{2B}, quindi B = \frac{c}{2\cdot 0{,}15} = 1 GHz (si sta nella banda 77-81 GHz).

2. La velocità non ambigua è \frac{\lambda}{4T_c} con \lambda = 3{,}9 mm: T_c \le \frac{\lambda}{4\cdot 40} = 24{,}3 μs.

3. \Delta v = \frac{\lambda}{2NT_c}, quindi N \ge \frac{\lambda}{2\cdot 0{,}1\cdot T_c} = 800; con la FFT si usa 1024, che dà \Delta v = 0{,}078 m/s.

4. Fotogramma: 1024\cdot 24{,}3 μs = 24,9 ms, compatibile con un aggiornamento ogni 50 ms.

5. Pendenza S = B/T_c = 41 MHz/μs; a 100 m il battimento è \frac{2SR}{c} = 27{,}4 MHz: l’ADC in quadratura deve campionare almeno a 27,4 MS/s (in pratica di più, per il filtro anti-aliasing). Il progetto mostra i compromessi: rampe brevi per la velocità, molte rampe per la risoluzione in velocità, banda per la distanza, e un ADC veloce per la portata.

Le scelte del radar FMCW
In alto la sequenza di rampe da 1 GHz lunghe 24,3 microsecondi, ripetute 1024 volte in 24,9 millisecondi; in basso la frequenza di battimento che cresce linearmente con la distanza fino a 27,4 megahertz a 100 metri.

Esercizio 10. Un SAR satellitare reale

Un satellite in banda C (5,405 GHz) con un’antenna lunga 12,3 m vola a 7,6 km/s e osserva a 850 km di distanza, con 56,5 MHz di banda e un angolo di incidenza di 35° (valori simili a quelli di Sentinel-1). Calcola la risoluzione in azimut con l’antenna reale, la lunghezza dell’apertura sintetica, la risoluzione SAR in azimut, la PRF minima, il tempo di illuminazione di un punto e la risoluzione in distanza obliqua e a terra.

Risultato: 3,8 km; 3,8 km; 6,15 m; 1236 Hz; 0,50 s; 2,65 m obliqua, 4,6 m a terra.

Soluzione

1. \lambda = 5{,}55 cm. Antenna reale: \frac{\lambda R}{D} = \frac{0{,}0555\cdot 850\,000}{12{,}3} = 3{,}8 km.

2. Ogni punto resta nel fascio per un tratto d’orbita lungo quanto l’impronta: L = 3{,}8 km, percorso in 3833/7600 = 0{,}50 s.

3. Risoluzione SAR: \frac{D}{2} = 6{,}15 m, indipendente dalla distanza e dalla lunghezza d’onda.

4. PRF \ge \frac{2v}{D} = \frac{15\,200}{12{,}3} = 1236 Hz (Sentinel-1 usa PRF tra 1 e 3 kHz circa a seconda del modo).

5. In distanza obliqua \frac{c}{2B} = 2{,}65 m; proiettata sul terreno si divide per \sin 35°: 4,6 m. Con angoli d’incidenza piccoli la risoluzione a terra peggiora molto (con 20° sarebbe 7,8 m). Nei modi a larga striscia, per coprire 250 km, il satellite divide il tempo tra sotto-strisce e la risoluzione in azimut reale peggiora a circa 20 m: un compromesso tra copertura e dettaglio.

La geometria del SAR satellitare
Il satellite a 850 chilometri illumina il terreno con un fascio largo 3,8 chilometri in azimut; ogni punto viene visto lungo un tratto d’orbita della stessa lunghezza, l’apertura sintetica, in mezzo secondo. In distanza la cella obliqua di 2,65 metri si proietta a terra in 4,6 metri.

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