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Sistemi Radar

L’equazione radar: dimostrazione, rumore e portata massima, sezione radar, risoluzione, ambiguità, orizzonte e bande

Il principio del radar spiegato in modo semplice, l'equazione radar dimostrata passo per passo, rumore termico e portata massima, risoluzione e ambiguità in distanza, orizzonte radar con il raggio terrestre equivalente, le bande di frequenza e i loro usi, calcolo in Python.

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Un radar (radio detection and ranging) trasmette onde elettromagnetiche e ne riceve l’eco: dal ritardo ricava la distanza, dalla direzione dell’antenna l’angolo, dallo spostamento di frequenza la velocità. Lo stesso principio serve al controllo del traffico aereo e alla difesa, alle previsioni del tempo, alle automobili (cruise control adattivo, frenata d’emergenza), alla misura del livello dei serbatoi e all’osservazione della Terra dai satelliti. Questa prima lezione ricava l’equazione radar, che dice fino a che distanza si vede un bersaglio, e le grandezze fondamentali del progetto: risoluzione, ambiguità, orizzonte, bande di frequenza.

L’idea in parole semplici

Il radar funziona come un’eco in montagna. Si grida verso una parete di roccia e si conta quanto tempo passa prima di sentire la voce tornare: più è lungo il tempo, più la parete è lontana. Il radar fa lo stesso con onde radio invece che con il suono, e le onde radio viaggiano a 300 000 km al secondo, quindi i tempi sono di milionesimi di secondo.

C’è però un problema: l’eco è debolissima. Il “grido” del radar si allarga mentre va verso il bersaglio, come la luce di una torcia che illumina un cerchio sempre più grande; il bersaglio ne intercetta solo un pezzettino, e lo rimanda indietro allargandolo di nuovo. La potenza si indebolisce due volte, all’andata e al ritorno, ed è per questo che la portata di un radar cresce molto lentamente con la potenza. Tutta la lezione serve a rendere precisa questa idea.

Un promemoria sui decibel. In radar si usano continuamente i decibel (dB), perché le potenze in gioco vanno da migliaia di watt (il trasmettitore) a millesimi di miliardesimi di miliardesimi di watt (l’eco). Un rapporto di potenze P_1/P_2 in decibel vale 10\log_{10}(P_1/P_2): +3 dB significa il doppio, +10 dB dieci volte, +20 dB cento volte, −30 dB un millesimo. I dBm sono decibel rispetto a 1 milliwatt: 0 dBm = 1 mW, 30 dBm = 1 W. Così prodotti e divisioni diventano somme e sottrazioni.

Il principio

Un impulso parte dall’antenna, viaggia alla velocità della luce c, colpisce un bersaglio e torna. Se l’eco arriva dopo un tempo \tau, il bersaglio è a distanza

    \[ R = \frac{c\,\tau}{2} \]

(il 2 perché l’onda fa andata e ritorno). Un microsecondo di ritardo corrisponde a 150 m. Ruotando l’antenna, o puntando il fascio elettronicamente (lezione sulle schiere di fase), si misura anche la direzione.

L’equazione radar

Teorema. Un radar monostatico (stessa antenna in trasmissione e ricezione) con potenza di picco P_t, guadagno d’antenna G e lunghezza d’onda \lambda riceve da un bersaglio di sezione radar \sigma a distanza R la potenza

    \[ P_r = \frac{P_tG^2\lambda^2\sigma}{(4\pi)^3R^4} \]

Dimostrazione. Si segue la potenza in quattro passi.

1. Un’antenna isotropa distribuirebbe P_t su una sfera: densità \frac{P_t}{4\pi R^2}. Il guadagno G concentra la potenza nella direzione del fascio: al bersaglio arriva S_1 = \frac{P_tG}{4\pi R^2} (W/m²).

2. La sezione radar (radar cross section, RCS) \sigma è definita come l’area che, intercettando S_1 e irradiandola uniformemente in tutte le direzioni, darebbe al radar la stessa eco del bersaglio vero: il bersaglio “rimanda” la potenza \sigma S_1.

3. Questa potenza torna al radar diluendosi su un’altra sfera: densità S_2 = \frac{\sigma S_1}{4\pi R^2}.

4. L’antenna ricevente la raccoglie con la sua area efficace A_e = \frac{G\lambda^2}{4\pi} (relazione generale tra guadagno e area di un’antenna): P_r = S_2A_e.

Moltiplicando: P_r = \frac{P_tG}{4\pi R^2}\cdot\frac{\sigma}{4\pi R^2}\cdot\frac{G\lambda^2}{4\pi}, che è la formula. ∎

La potenza ricevuta cala come R^4: raddoppiare la portata richiede 16 volte la potenza. È la differenza fondamentale con un collegamento radio, dove la potenza cala come R^2.

Rumore e portata massima

Il ricevitore aggiunge rumore termico di potenza N = kT_0BF, con k la costante di Boltzmann, T_0 = 290 K, B la banda e F la cifra di rumore. A 1 MHz di banda kT_0B = -114 dBm, cioè circa 4\cdot 10^{-15} W. Con L le perdite (guide, radome, elaborazione) e SNR_{min} il rapporto segnale/rumore necessario per rivelare il bersaglio con l’affidabilità voluta (lezione sulla rivelazione), la portata massima è

    \[ R_{max} = \left[\frac{P_tG^2\lambda^2\sigma}{(4\pi)^3kT_0BF\,L\,SNR_{min}}\right]^{1/4} \]

Esempio. Radar in banda X: f = 10 GHz (\lambda = 3 cm), P_t = 1 kW, G = 35 dB, B = 1 MHz, F = 3 dB, L = 6 dB, SNR_{min} = 13 dB. Per un bersaglio di 1 m² (un’automobile vista di fronte è dell’ordine di 10 m², una persona circa 1 m²) R_{max} = 9{,}2 km. Per un piccolo drone da 0,01 m² la portata scende a 9{,}2\cdot 0{,}01^{1/4} = 2{,}9 km. Moltiplicando per 16 la potenza si arriva a 18,4 km: il doppio.

Il percorso della potenza nell'equazione radar
Il radar emette con guadagno G; la densità di potenza al bersaglio cala come uno su R al quadrato; il bersaglio di sezione sigma rimanda la potenza, che cala di nuovo come uno su R al quadrato tornando; l’antenna la raccoglie con l’area efficace. In tutto la potenza ricevuta cala come uno su R alla quarta.

La sezione radar

\sigma dipende dalla forma, dal materiale, dall’angolo di vista e dalla frequenza, e può variare di decine di decibel muovendo il bersaglio di pochi gradi: un aereo di linea ha da 10 a 100 m², un caccia moderno progettato per essere poco visibile (forme che riflettono lontano dal radar, materiali assorbenti) meno di 0,1 m². Per una sfera conduttrice di raggio a \gg \lambda, \sigma = \pi a^2 (la sua sezione geometrica); per una lastra piana perpendicolare di area A, \sigma = 4\pi A^2/\lambda^2, enorme: per questo i riflettori ad angolo dei porticcioli e le boe si vedono benissimo. La fluttuazione di \sigma da un’osservazione all’altra si descrive con i modelli statistici di Swerling.

Risoluzione e ambiguità in distanza

Risoluzione. Due bersagli si distinguono se le loro eco non si sovrappongono: con un impulso di durata \tau la risoluzione è \Delta R = c\tau/2, e più in generale \Delta R = \frac{c}{2B} con B la banda del segnale. Un impulso di 1 μs dà 150 m; per avere 15 cm (come nei radar delle auto) servono 1 GHz di banda. Impulsi brevi però portano poca energia: la soluzione è la compressione d’impulso (lezione sulle forme d’onda).

Ambiguità. Il radar trasmette impulsi a ripetizione con frequenza PRF (pulse repetition frequency). Un’eco che arriva dopo l’impulso successivo viene attribuita a quello e sembra vicina: la distanza non ambigua è R_{amb} = \frac{c}{2\,PRF}. Con PRF di 1 kHz sono 150 km, con 10 kHz 15 km, con 100 kHz 1,5 km. La scelta della PRF è un compromesso con la misura della velocità (lezione sul Doppler).

L’orizzonte radar

Le onde viaggiano quasi in linea retta, la Terra è curva. L’atmosfera piega leggermente i raggi verso il basso, e lo si mette in conto con un raggio terrestre equivalente di \frac{4}{3} di quello vero. Un’antenna a quota h vede l’orizzonte a d = \sqrt{2\cdot\frac{4}{3}R_Th}: con l’antenna di una nave a 10 m, una barca sull’acqua sparisce oltre 13 km; un aereo a 10 000 m si vede fino a 425 km. È il motivo per cui i radar di sorveglianza si mettono in cima ai monti, sugli aerei (AWACS) e sui satelliti, e per cui un aereo che vola basso sfugge a lungo ai radar a terra.

Le bande di frequenza e gli usi

bandafrequenzausi tipici
HF3-30 MHzradar oltre l’orizzonte (onde riflesse dalla ionosfera)
VHF, UHF30 MHz-1 GHzsorveglianza a lunghissima distanza, allarme precoce
L1-2 GHzcontrollo del traffico aereo di rotta, radar secondario (1030/1090 MHz)
S2-4 GHzradar di avvicinamento agli aeroporti, meteorologici, navali
C4-8 GHzmeteorologici, satelliti di osservazione (SAR)
X8-12 GHznavali, puntamento, meteorologici a corto raggio, SAR
Ku, K, Ka12-40 GHzaltimetri, radar di aeroporto per i movimenti a terra, polizia
W75-110 GHzautomobili (76-81 GHz), sensori industriali

Frequenze basse: antenne grandi, poca attenuazione, portate lunghe ma risoluzione angolare scarsa. Frequenze alte: antenne piccole e fasci stretti, molta banda (alta risoluzione), ma più attenuazione da pioggia e atmosfera.

In sintesi

  • La distanza si ricava dal ritardo dell’eco: R = c\tau/2, 150 m per microsecondo.
  • La potenza dell’eco cala come R^4: per raddoppiare la portata serve 16 volte la potenza, oppure un’antenna 4 volte più guadagnante.
  • La portata è limitata dal rumore del ricevitore; conta il rapporto segnale/rumore.
  • La sezione radar \sigma dice “quanto è visibile” un oggetto, e può cambiare moltissimo con l’angolo.
  • La risoluzione in distanza dipende dalla banda (c/2B); la PRF fissa la distanza non ambigua (c/2PRF).
  • La curvatura della Terra limita la vista: per vedere lontano bisogna stare in alto.

Il calcolo in Python

import numpy as np

c, k = 299792458.0, 1.380649e-23
dB = lambda x: 10 ** (x / 10)                       # da decibel a rapporto

f, Pt, G, sigma = 10e9, 1e3, dB(35), 1.0             # banda X, 1 kW, 35 dB, 1 m^2
B, F, L, snr = 1e6, dB(3), dB(6), dB(13)             # banda, cifra di rumore, perdite, SNR minimo
lam = c / f
Rmax = (Pt * G**2 * lam**2 * sigma / ((4 * np.pi)**3 * k * 290 * B * F * L * snr)) ** 0.25
print(f"portata massima per 1 m^2: {Rmax / 1e3:.2f} km")
print(f"drone da 0,01 m^2: {Rmax * 0.01**0.25 / 1e3:.2f} km; con 16 volte la potenza: {Rmax * 16**0.25 / 1e3:.2f} km")
print(f"rumore termico in 1 MHz: {10 * np.log10(k * 290 * B / 1e-3):.1f} dBm")
print(f"risoluzione con 1 MHz di banda: {c / (2 * B):.0f} m; con 1 GHz: {c / (2 * 1e9) * 100:.0f} cm")
for prf in (1e3, 10e3, 100e3):
    print(f"PRF {prf / 1e3:5.0f} kHz: distanza non ambigua {c / (2 * prf) / 1e3:7.2f} km")
RT = 6371e3
oriz = lambda h: np.sqrt(2 * 4 / 3 * RT * h)        # raggio terrestre equivalente 4/3
print(f"orizzonte da 10 m: {oriz(10) / 1e3:.0f} km; aereo a 10 km di quota: {(oriz(10) + oriz(10e3)) / 1e3:.0f} km")

L’esecuzione stampa 9,19 km, 2,91 e 18,38 km, −114 dBm, 150 m e 15 cm, 150, 15 e 1,5 km, 13 e 425 km. In fondo alla pagina c’è il collegamento a una videolezione introduttiva sui sistemi radar (in inglese).

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