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La trasformata Zeta e i sistemi a tempo discreto

Definizione e regione di convergenza, ritardo e convoluzione, equazioni alle differenze, filtri FIR e IIR, stabilità nel piano z, legame con Laplace e Fourier, antitrasformata.

Aggiornato il 25 ottobre 2026 4 min di lettura 1 commento

https://www.electronics-engineering.com/articolo_62-la_trasformata_zeta.htm

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I sistemi digitali non lavorano con segnali continui ma con sequenze di campioni: x[0], x[1], x[2], \dots, prese a intervalli di tempo T. Un filtro audio in un processore DSP, un controllore in un microcontrollore, un equalizzatore in un modem calcolano ogni uscita a partire dagli ultimi campioni. La trasformata Zeta fa per questi sistemi ciò che la trasformata di Laplace fa per i sistemi continui: trasforma le equazioni alle differenze in equazioni algebriche, definisce la funzione di trasferimento e lega la stabilità alla posizione dei poli.

Definizione

Per una sequenza x[n], nulla per n \lt 0:

    \[ X(z) = \mathcal Z\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty}x[n]\,z^{-n} \]

È una serie di potenze in z^{-1}, quindi converge fuori da un cerchio: per |z| \gt R, la regione di convergenza.

Esempi.

  • Impulso unitario \delta[n] (1 per n = 0, 0 altrove): X(z) = 1.
  • Gradino u[n] (1 per n \ge 0): \sum z^{-n} = \frac{1}{1 - z^{-1}} = \frac{z}{z - 1}, per |z| \gt 1.
  • Esponenziale a^n u[n]: \sum(az^{-1})^n = \frac{z}{z - a}, per |z| \gt |a|. È la serie geometrica, e da essa si ricavano quasi tutte le altre trasformate.

Le proprietà

  • Linearità.
  • Ritardo di un campione: \mathcal Z\{x[n - 1]\} = z^{-1}X(z). È la proprietà fondamentale: z^{-1} è un ritardo di un campione, e nei diagrammi a blocchi dei filtri digitali è indicato proprio con il simbolo z^{-1}, un registro di memoria.
  • Anticipo: \mathcal Z\{x[n + 1]\} = zX(z) - zx[0], l’analogo della derivata con la condizione iniziale.
  • Convoluzione: \mathcal Z\{x * h\} = X(z)H(z), con (x * h)[n] = \sum_k x[k]h[n - k].
  • Valore finale: \lim_{n\to\infty}x[n] = \lim_{z\to 1}(z - 1)X(z), se il limite esiste.

Equazioni alle differenze e funzione di trasferimento

Un sistema discreto lineare tempo invariante è descritto da un’equazione alle differenze. Esempio: un filtro che fa la media pesata tra il nuovo campione e l’uscita precedente,

    \[ y[n] = a\,y[n - 1] + (1 - a)\,x[n],\qquad 0 \lt a \lt 1 \]

Trasformando, con condizioni iniziali nulle: Y = az^{-1}Y + (1 - a)X, quindi

    \[ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1 - a}{1 - az^{-1}} = \frac{(1 - a)z}{z - a} \]

È il passa basso digitale più semplice (media mobile esponenziale), il “filtro” che si usa nei microcontrollori per ripulire la lettura di un sensore: con a = 0{,}9 ogni nuova lettura pesa per il 10%. La risposta al gradino è y[n] = 1 - a^{n+1}, che tende a 1.

Le due grandi famiglie di filtri digitali:

  • FIR (risposta impulsiva finita): y[n] = \sum_{k=0}^{M}b_k x[n - k]. H(z) è un polinomio in z^{-1}: ha solo poli nell’origine, quindi è sempre stabile, e può avere fase esattamente lineare.
  • IIR (risposta impulsiva infinita): contengono anche termini y[n - k], cioè retroazione, come l’esempio sopra. Con pochi coefficienti ottengono filtri molto selettivi, ma possono diventare instabili.

Il piano z e la stabilità

Piano z con la circonferenza unitaria, poli dentro e fuori e uno zero
La circonferenza di raggio 1 è il confine della stabilità: poli dentro (rossi) danno risposte che si smorzano, poli fuori (viola) risposte che crescono. Lungo la circonferenza, l’angolo ωT rappresenta la frequenza.

Un polo p produce nella risposta un termine p^n. Se |p| \lt 1 il termine si smorza, se |p| \gt 1 cresce. Quindi

un sistema discreto è stabile se e solo se tutti i poli della sua funzione di trasferimento stanno dentro la circonferenza unitaria.

Nel filtro dell’esempio il polo è in z = a: stabile per |a| \lt 1. Con a = 1{,}05 l’uscita crescerebbe del 5% a ogni campione.

Il legame con Laplace e con Fourier

Campionare un segnale continuo con periodo T corrisponde alla sostituzione

    \[ z = e^{sT} \]

Il semipiano sinistro di s (\operatorname{Re}s \lt 0) va dentro il cerchio unitario (|z| \lt 1), l’asse immaginario s = i\omega va sulla circonferenza z = e^{i\omega T}. Per questo le regole di stabilità si corrispondono: “parte reale negativa” diventa “modulo minore di 1”.

Calcolando H(z) sulla circonferenza unitaria, z = e^{i\omega T}, si ottiene la risposta in frequenza del sistema discreto. Un giro completo della circonferenza corrisponde alla frequenza di campionamento: la risposta in frequenza di un sistema digitale è periodica, ed è un altro modo di vedere l’aliasing. Le frequenze utili vanno da 0 (in z = 1) alla metà della frequenza di campionamento (in z = -1).

Esempio. Un filtro con uno zero in z = -1, come H(z) = \frac{1 + z^{-1}}{2} (media degli ultimi due campioni), elimina completamente la frequenza di Nyquist: un segnale che alterna +1, -1, +1, \dots dà uscita zero. È il passa basso FIR più semplice.

L’antitrasformata

Come per Laplace si usano i fratti semplici, ma conviene scomporre \frac{X(z)}{z}, così i termini diventano \frac{z}{z - p}, che corrispondono a p^n. Per esempio

    \[ X(z) = \frac{z}{(z - 1)(z - 0{,}5)} \quad\Rightarrow\quad \frac{X(z)}{z} = \frac{2}{z - 1} - \frac{2}{z - 0{,}5} \quad\Rightarrow\quad x[n] = 2 - 2\cdot 0{,}5^n \]

In alternativa si può sempre dividere il numeratore per il denominatore e leggere i campioni come coefficienti della serie in z^{-1}: è esattamente ciò che fa un processore quando esegue l’equazione alle differenze campione dopo campione.

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Benvenuti nella pagina su «La trasformata Zeta e i sistemi a tempo discreto». L'ho scritta pensando a chi studia ingegneria elettronica: se un passaggio non vi torna, un esercizio vi dà un risultato diverso o volete altro materiale sull'argomento, chiedete pure nei commenti e vi risponderò. Un voto con le stelle qui sopra mi aiuta a capire quali pagine migliorare.Welcome to the page on “The Z transform and discrete-time systems”. I wrote it for engineering students: if a step does not add up, an exercise gives you a different result or you would like more material on the topic, just ask in the comments and I will reply. A star rating above helps me understand which pages to improve.

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