Controllo ottimo LQ e controllo predittivo
Regolatore lineare quadratico con equazione di Riccati dimostrata per programmazione dinamica, esempio scalare in forma chiusa, LQG, controllo predittivo con orizzonte mobile e vincoli.
Allocare i poli lascia aperta una domanda: dove metterli? Più veloci significa comandi più grandi, più lenti significa errori che durano di più. Il controllo ottimo risponde scrivendo il compromesso come un costo da minimizzare, e il controllo predittivo estende l’idea ai vincoli che ogni impianto reale ha: attuatori che saturano, temperature e pressioni da non superare. In questa lezione vediamo il regolatore lineare quadratico (LQ) discreto con la derivazione dell’equazione di Riccati, un esempio scalare risolto in forma chiusa, e il controllo predittivo con l’orizzonte mobile, i vincoli e le sue applicazioni.
Il regolatore lineare quadratico
Per il sistema 
si cerca la sequenza di comandi che minimizza
![\[ J = \sum_{k=0}^{\infty}\left(x(k)^TQx(k) + u(k)^TRu(k)\right) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fb604b82732d177fbf59699056ecc950_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
con 
semidefinita positiva (quanto pesa l’errore) e 
definita positiva (quanto pesa il comando). Aumentare rispetto a chiede un regolatore più “parsimonioso”.
Teorema. La soluzione ottima è una retroazione dello stato 
con
![\[ K = (R + \Gamma^TP\Gamma)^{-1}\Gamma^TP\Phi \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0b14a2926ab5ea2e6edb8ee87c4e0982_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove 
è la soluzione simmetrica definita positiva dell’equazione algebrica di Riccati
![\[ P = Q + \Phi^TP\Phi - \Phi^TP\Gamma(R + \Gamma^TP\Gamma)^{-1}\Gamma^TP\Phi \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5a93601e2591ba853eecdceefcc0f180_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e il costo minimo partendo da 
è 
.
Dimostrazione (programmazione dinamica). Sia 
il costo minimo partendo da . Per il principio di ottimalità di Bellman, il primo passo ottimo minimizza il costo del passo più il costo minimo dallo stato successivo:
![\[ V(x) = \min_u\left[x^TQx + u^TRu + V(\Phi x + \Gamma u)\right] \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ec7856d2d1fa1e9f499cacafd975ab1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Si prova con 
. La quantità tra parentesi è quadratica in 
; il gradiente rispetto a è 
, e annullandolo:
![\[ u = -(R + \Gamma^TP\Gamma)^{-1}\Gamma^TP\Phi x = -Kx \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a10d35b632474add1c11a169f8be99f5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
È un minimo perché la matrice 
è definita positiva. Sostituendo , tutti i termini sono della forma 
, e l’uguaglianza vale per ogni se e solo se soddisfa l’equazione di Riccati. ∎
Se 
è raggiungibile e lo stato è “visto” dal costo (
osservabile), la soluzione esiste, è unica e l’anello chiuso è asintoticamente stabile. In pratica l’equazione si risolve numericamente, con un’istruzione nei programmi di calcolo.
Esempio: un integratore
Si prenda 
, con 
e 
. Con 
l’equazione di Riccati diventa
![\[ P = 1 + P - \frac{P^2}{r + P} \quad\Rightarrow\quad P^2 - P - r = 0 \quad\Rightarrow\quad P = \frac{1 + \sqrt{1 + 4r}}{2} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cb96bc7255de576f6b62f75a9fee52f3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e 
, con polo in anello chiuso 
.
 | |  | polo  |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 0 (deadbeat) |
| 1 | 1,618 | 0,618 | 0,382 |
| 10 | 3,70 | 0,270 | 0,730 |
| 100 | 10,5 | 0,095 | 0,905 |
Con comando gratuito (
) l’ottimo è il deadbeat (lezione sul controllo deadbeat); con comando costoso il regolatore diventa sempre più lento. Per 
compare la sezione aurea, 
. Il progettista non sceglie più i poli, ma i pesi, che hanno un significato fisico diretto. Il controllo LQ continuo ha anche margini garantiti (guadagno infinito, almeno 60° di fase); nel discreto i margini sono un po’ minori ma restano buoni.
Insieme al filtro di Kalman (lezione sugli osservatori) il regolatore LQ forma il controllo LQG, ottimo quando i disturbi e i rumori sono gaussiani, e grazie al principio di separazione i due si progettano indipendentemente.
Il controllo predittivo
Il regolatore LQ non sa niente dei limiti: se il comando ottimo supera la saturazione dell’attuatore, viene semplicemente tagliato, e l’ottimalità e a volte la stabilità si perdono. Il controllo predittivo (MPC, model predictive control) mette i vincoli dentro il problema.
A ogni campione il regolatore:
- misura (o stima con un osservatore) lo stato attuale;
- usando il modello, prevede l’evoluzione dell’uscita per i prossimi
passi in funzione della sequenza di comandi futuri 
; - sceglie la sequenza che minimizza un costo quadratico (errore rispetto al riferimento più sforzo di comando) rispettando i vincoli: limiti sui comandi, sulla loro velocità di variazione, sulle uscite e sugli stati;
- applica solo il primo comando, scarta gli altri, e al campione successivo ripete tutto con la nuova misura.
Il passo 3 è un problema di programmazione quadratica: costo quadratico, vincoli lineari, una soluzione unica che algoritmi efficienti trovano in microsecondi o millisecondi. Il passo 4, l’orizzonte mobile, rende lo schema una vera retroazione: gli errori del modello e i disturbi vengono corretti a ogni ciclo.
Alcune proprietà:
- senza vincoli attivi, il controllo predittivo è una retroazione lineare fissa; con orizzonte infinito coincide con il regolatore LQ;
- la stabilità si garantisce aggiungendo un costo terminale pari al costo LQ dello stato finale, ed eventualmente un vincolo terminale;
- conosce in anticipo i cambiamenti di riferimento e i disturbi misurabili, e può cominciare a reagire prima che avvengano;
- gestisce naturalmente i sistemi con molti ingressi e uscite accoppiati (lezione sui sistemi multivariabili di Controllo dei processi).
Il controllo predittivo è nato alla fine degli anni Settanta nelle raffinerie, dove i processi sono lenti e c’è tempo per calcolare, e oggi è lo standard per il controllo avanzato dei processi. Con i processori moderni è arrivato ai sistemi veloci: gestione del motore e della guida autonoma nelle automobili, droni, convertitori di potenza ed elettronica di trazione, dove la versione “a insieme finito” sceglie direttamente lo stato degli interruttori (lezioni di Elettronica di potenza).
