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Controlli Automatici 1

Il luogo delle radici

Condizioni di modulo e di fase, regole di tracciamento, asintoti e punti di diramazione, esempio completo con tre poli, scelta del guadagno e effetto di uno zero aggiunto.

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Aumentando il guadagno di un controllore proporzionale, i poli dell’anello chiuso si spostano nel piano complesso: partono dai poli del processo e, oltre un certo valore, possono attraversare l’asse immaginario. Il luogo delle radici è il disegno di questi percorsi. Si traccia con poche regole, senza risolvere equazioni di grado alto, e mostra a colpo d’occhio quali comportamenti si possono ottenere con un semplice guadagno e quali richiedono un controllore più elaborato.

La definizione

Sia L(s) = K\,\frac{N(s)}{D(s)}, con N di grado m (zeri z_i) e D di grado n \ge m (poli p_i). I poli dell’anello chiuso sono le radici di

    \[ D(s) + K\,N(s) = 0 \]

Il luogo delle radici è l’insieme di queste radici al variare di K da 0 a +\infty.

Le condizioni di modulo e di fase. Un punto s appartiene al luogo se e solo se N(s)/D(s) = -1/K, cioè

    \[ \sum_i \arg(s - z_i) - \sum_i \arg(s - p_i) = 180° + k\cdot 360°,\qquad K = \frac{\prod|s - p_i|}{\prod|s - z_i|} \]

La condizione di fase decide dove sta il luogo, quella di modulo quale guadagno corrisponde a ogni punto.

Le regole di tracciamento

  1. Il luogo ha n rami, simmetrici rispetto all’asse reale.
  2. I rami partono dai poli di L (K = 0) e arrivano agli zeri (K \to \infty); n - m rami vanno all’infinito.
  3. Sull’asse reale appartengono al luogo i punti che hanno alla loro destra un numero dispari di poli e zeri reali (dalla condizione di fase: ogni polo o zero a destra contribuisce 180°, quelli a sinistra 0°, le coppie complesse si compensano).
  4. I rami che vanno all’infinito seguono asintoti con angoli \frac{180° + k\cdot 360°}{n - m}, che partono dal baricentro

    \[ \sigma_a = \frac{\sum p_i - \sum z_i}{n - m} \]

  1. Due rami che si incontrano sull’asse reale si staccano nei punti in cui \frac{d}{ds}\frac{D(s)}{N(s)} = 0 (punti di diramazione).
  2. Gli attraversamenti dell’asse immaginario si trovano con il criterio di Routh.

Un esempio completo

    \[ L(s) = \frac{K}{s(s + 2)(s + 4)} \]

Tre poli (0, −2, −4), nessuno zero.

  • Asse reale: appartengono al luogo il tratto tra 0 e −2 (a destra un polo) e tutto quello a sinistra di −4 (tre poli).
  • Asintoti: n - m = 3, angoli 60°, 180°, 300°, baricentro \sigma_a = (0 - 2 - 4)/3 = -2.
  • Diramazione: D(s) = s^3 + 6s^2 + 8s, D'(s) = 3s^2 + 12s + 8 = 0 dà s \approx -0{,}845 (l’altra radice, −3,15, non sta sul luogo). Lì K = |s||s + 2||s + 4| \approx 3{,}08.
  • Asse immaginario: dalla lezione sulla stabilità, K = 48 e s = \pm j2\sqrt2.
Luogo delle radici di K/(s(s+2)(s+4))
I tre poli in anello aperto sono le croci in 0, −2 e −4. Due rami partono da 0 e da −2, si incontrano nel punto di diramazione vicino a −0,85 e si staccano dall’asse reale seguendo gli asintoti a ±60° che partono da −2; attraversano l’asse immaginario in ±j2√2. Il terzo ramo parte da −4 e va verso −∞ sull’asse reale.

La lettura del grafico. Per K \lt 3{,}08 i poli sono reali: risposta senza oscillazioni ma lenta. Tra 3,08 e 48 la coppia dominante è complessa e sempre meno smorzata. Per uno smorzamento \zeta = 0{,}5 (sovraelongazione del 16%) i poli devono stare sulla retta a 60° dal semiasse negativo: il luogo la incontra per K \approx 8{,}3, con poli in -0{,}67 \pm j1{,}15; il terzo polo è in -4{,}67, sette volte più lontano, e la coppia è davvero dominante. Il tempo di assestamento è allora circa 4/0{,}67 \approx 6 s, e non si può ridurre cambiando solo il guadagno: la parte reale dei poli complessi non va mai più a sinistra di −2, il baricentro degli asintoti.

Modificare il luogo

Qui sta l’utilità del metodo nel progetto. Aggiungere al controllore uno zero attira i rami verso di sé e li sposta a sinistra: con uno zero in −2,5, per esempio, gli asintoti diventano due a ±90° con baricentro (-6 + 2{,}5)/2 = -1{,}75, e l’anello resta stabile per qualsiasi guadagno. È l’effetto dell’azione derivativa e delle reti anticipatrici. Aggiungere un polo (come l’integratore) spinge i rami verso destra e riduce la stabilità. Il luogo delle radici rende visibile questo compromesso, ed è per questo che, anche nell’epoca dei programmi di simulazione, resta lo strumento con cui si ragiona sul progetto.

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