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Controlli Automatici 1

Reti correttrici: anticipatrice e ritardatrice

Dalle specifiche alla forma della funzione d'anello, rete anticipatrice e massimo anticipo con dimostrazione, progetto completo con verifica, rete ritardatrice e rete a sella.

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Il progetto in frequenza consiste nel dare alla funzione d’anello L(j\omega) la forma giusta: guadagno alto in bassa frequenza per gli errori a regime, frequenza di attraversamento adeguata per la velocità, margine di fase sufficiente per lo smorzamento. Gli strumenti sono le reti correttrici: la rete anticipatrice aggiunge fase vicino all’attraversamento, quella ritardatrice aumenta il guadagno in bassa frequenza senza toccare il margine. In questa lezione le ricaviamo e completiamo l’esempio della lezione sul criterio di Nyquist.

Dalle specifiche alla forma di L

Le specifiche nel tempo si traducono in frequenza con regole approssimate ma molto usate:

  • margine di fase \varphi_m → smorzamento \zeta \approx \varphi_m/100, quindi sovraelongazione;
  • frequenza di attraversamento \omega_c → velocità: il tempo di salita è circa 1{,}8/\omega_c e la banda dell’anello chiuso è dello stesso ordine di \omega_c;
  • guadagno in bassa frequenza → errore a regime (lezione sugli errori).

Il diagramma di Bode del modulo dovrebbe attraversare 0 dB con una pendenza di circa −20 dB/decade: pendenze più ripide all’attraversamento significano fase vicina a −180° e margini piccoli.

La rete anticipatrice

    \[ C_a(s) = \frac{1 + \alpha T s}{1 + T s},\qquad \alpha \gt 1 \]

ha uno zero in -1/(\alpha T) e un polo più a sinistra, in -1/T. Tra le due frequenze il modulo sale di 20\log_{10}\alpha dB e la fase è positiva: è un’azione derivativa limitata, che non amplifica il rumore all’infinito.

Diagrammi di Bode della rete anticipatrice
Il modulo passa da 0 dB a 20 dB tra le frequenze 1/(αT) e 1/T, qui con α = 10. La fase è positiva in quell’intervallo, con un massimo φ_max alla media geometrica delle due frequenze, 1/(T√α).

Teorema. L’anticipo di fase è massimo alla frequenza \omega_m = \frac{1}{T\sqrt\alpha}, media geometrica di zero e polo, e vale

    \[ \sin\varphi_{max} = \frac{\alpha - 1}{\alpha + 1} \]

Lì il modulo è \sqrt\alpha, cioè 10\log_{10}\alpha dB.

Dimostrazione. La fase è \varphi(\omega) = \arctan(\alpha\omega T) - \arctan(\omega T). Ponendo x = \omega T e usando la formula della tangente della differenza:

    \[ \tan\varphi = \frac{\alpha x - x}{1 + \alpha x^2} = \frac{(\alpha - 1)x}{1 + \alpha x^2} \]

Il massimo si ha dove la derivata rispetto a x si annulla: (1 + \alpha x^2) - 2\alpha x^2 = 0, cioè x = 1/\sqrt\alpha. Lì \tan\varphi_{max} = \frac{\alpha - 1}{2\sqrt\alpha}, e dal triangolo rettangolo con cateti \alpha - 1 e 2\sqrt\alpha l’ipotenusa è \sqrt{(\alpha - 1)^2 + 4\alpha} = \alpha + 1: quindi \sin\varphi_{max} = \frac{\alpha - 1}{\alpha + 1}. Il modulo in x = 1/\sqrt\alpha è \sqrt{(1 + \alpha)/(1 + 1/\alpha)} = \sqrt\alpha. ∎

\alpha461020
\varphi_{max}36,9°45,6°54,9°64,8°

Oltre \alpha = 20 il guadagno di fase cresce poco e il rumore molto: per anticipi maggiori si usano due reti in cascata.

Un progetto completo

Processo e guadagno della lezione sul criterio di Nyquist: L(s) = \frac{10}{s(s + 1)(s + 5)}, con margine di fase di 25°, troppo poco. Obiettivo: almeno 45-50°.

  1. Scelta di α. Serve un anticipo di circa 25-30° più un margine per il fatto che la rete sposta l’attraversamento a destra, dove la fase del processo è peggiore. Si prova \alpha = 6 (\varphi_{max} \approx 46°).
  2. Posizione. Conviene mettere il massimo di fase proprio sul nuovo attraversamento. La rete lì aggiunge 10\log_{10}6 \approx 7{,}8 dB, quindi il nuovo \omega_c è dove il processo da solo vale -7{,}8 dB, cioè |L| = 1/\sqrt6: accade a \omega \approx 2{,}02 rad/s.
  3. Calcolo di T. \omega_m = 1/(T\sqrt\alpha) dà T \approx 0{,}20 s, e la rete è C_a(s) = \frac{1 + 1{,}21s}{1 + 0{,}20s}.
  4. Verifica. Con la rete il margine di fase diventa circa 50° e l’attraversamento passa da 1,23 a 2,02 rad/s: risposta più smorzata (simulando, la sovraelongazione scende da circa il 49% al 17%) e anche più veloce.

Con \alpha = 4 si otterrebbero circa 46°, con \alpha = 10 circa 54°: la scelta finale si fa simulando e controllando anche l’effetto sul rumore.

La rete ritardatrice

    \[ C_r(s) = \frac{1 + T s}{1 + \alpha T s},\qquad \alpha \gt 1 \]

è il contrario: attenua di \alpha volte le alte frequenze lasciando invariate le basse. Usata insieme a un aumento del guadagno di \alpha volte, ha l’effetto di moltiplicare per α il guadagno in bassa frequenza (e dividere per α l’errore a regime) senza cambiare il comportamento vicino all’attraversamento. Il suo ritardo di fase va tenuto lontano da \omega_c: si mette lo zero 1/T almeno una decade sotto l’attraversamento.

Rete anticipatrice e ritardatrice insieme formano una rete a sella (lead-lag), l’equivalente in frequenza di un PID: la parte ritardatrice fa il lavoro dell’integrale, quella anticipatrice della derivata.

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