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Metodi Matematici

Trasformata di Fourier, approfondimento: gaussiana, Parseval, decadimento dello spettro, indeterminazione e campionamento

Trasformata della gaussiana, proprietà e teorema di Parseval dimostrati, regolarità del segnale e decadimento dello spettro, principio di indeterminazione, teorema del campionamento con la formula di ricostruzione, tabelle delle coppie.

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Questa pagina approfondisce la lezione sulla trasformata di Fourier. Calcola con tutti i passaggi la trasformata della gaussiana, dimostra le proprietà e il teorema di Parseval, spiega perché uno spettro decresce più o meno in fretta secondo la regolarità del segnale, ricava il principio di indeterminazione e dimostra il teorema del campionamento con la formula di ricostruzione. In fondo ci sono le tabelle da ricordare delle coppie di trasformate e delle proprietà.

Convenzione: F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt, f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}d\omega.

La gaussiana: una funzione che si trasforma in se stessa

Teorema. \displaystyle\mathcal F\left\{e^{-t^2/(2\sigma^2)}\right\} = \sigma\sqrt{2\pi}\,e^{-\sigma^2\omega^2/2}.

Dimostrazione. Sia f(t) = e^{-at^2} con a = \frac{1}{2\sigma^2}. La funzione soddisfa l’equazione differenziale f'(t) = -2at\,f(t). Si trasformano entrambi i membri: a sinistra la derivata diventa i\omega F(\omega); a destra, poiché \mathcal F\{t\,f(t)\} = i\,F'(\omega) (derivando sotto il segno di integrale la definizione rispetto a \omega), si ottiene -2a\,i\,F'(\omega). Quindi

    \[ i\omega F = -2ai\,F' \quad\Rightarrow\quad F'(\omega) = -\frac{\omega}{2a}F(\omega) \]

È la stessa equazione, con \frac{1}{4a} al posto di a: F(\omega) = F(0)\,e^{-\omega^2/(4a)} = F(0)\,e^{-\sigma^2\omega^2/2}. Infine F(0) = \int e^{-at^2}dt = \sqrt{\pi/a} = \sigma\sqrt{2\pi} (integrale di Gauss). ∎

Una gaussiana stretta nel tempo (σ piccolo) è larga in frequenza (larghezza 1/\sigma), e viceversa: il prodotto delle due larghezze è costante.

Gaussiane nel tempo e loro trasformate
A sinistra due gaussiane, una larga in blu e una stretta in arancione; a destra le trasformate: la gaussiana larga nel tempo ha uno spettro stretto, quella stretta uno spettro largo e più basso.

Le proprietà, dimostrate

Tutte seguono dalla definizione con un cambio di variabile.

  • Ritardo. \int f(t - t_0)e^{-i\omega t}dt, con u = t - t_0, diventa e^{-i\omega t_0}\int f(u)e^{-i\omega u}du = e^{-i\omega t_0}F(\omega).
  • Modulazione. \int e^{i\omega_0 t}f(t)e^{-i\omega t}dt = \int f(t)e^{-i(\omega - \omega_0)t}dt = F(\omega - \omega_0). Con il coseno, \cos\omega_0t = \frac{e^{i\omega_0t} + e^{-i\omega_0t}}{2}, lo spettro si divide in due copie dimezzate centrate in \pm\omega_0.
  • Cambio di scala. Per a \gt 0, con u = at: \int f(at)e^{-i\omega t}dt = \frac{1}{a}\int f(u)e^{-i(\omega/a)u}du = \frac{1}{a}F(\omega/a).
  • Derivata. Per parti, se f \to 0 all’infinito: \int f'(t)e^{-i\omega t}dt = \left[f e^{-i\omega t}\right] + i\omega\int f e^{-i\omega t}dt = i\omega F(\omega).
  • Segnale reale. Se f è reale, F(-\omega) = \overline{F(\omega)}: il modulo è pari e la fase dispari. Per questo negli strumenti si mostrano solo le frequenze positive.
Effetto della modulazione sullo spettro
A sinistra lo spettro di un segnale in banda base; a destra lo spettro dopo la moltiplicazione per un coseno di pulsazione omega zero: due copie di altezza metà, centrate in più e meno omega zero.

Teorema (Parseval). \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2d\omega.

Dimostrazione. Si scrive |f|^2 = f\,\bar f e si sostituisce a \bar f la formula di inversione coniugata:

    \[ \int f(t)\overline{f(t)}dt = \int f(t)\,\frac{1}{2\pi}\int\overline{F(\omega)}e^{-i\omega t}d\omega\,dt = \frac{1}{2\pi}\int\overline{F(\omega)}\left(\int f(t)e^{-i\omega t}dt\right)d\omega = \frac{1}{2\pi}\int|F|^2d\omega \]

scambiando l’ordine degli integrali. ∎

Regolarità e decadimento dello spettro

Quanto in fretta |F(\omega)| va a zero per \omega \to \infty dipende da quanto è “liscio” il segnale:

  • se f ha un salto (impulso rettangolare), |F| \sim 1/\omega;
  • se f è continua ma la derivata ha un salto (impulso triangolare), |F| \sim 1/\omega^2;
  • in generale, se le prime k - 1 derivate sono continue e la k-esima ha un salto, |F| \sim 1/\omega^{k+1};
  • se f ha tutte le derivate (gaussiana), F decresce più in fretta di ogni potenza.

Perché. Applicando k volte la regola della derivata, \mathcal F\{f^{(k)}\} = (i\omega)^kF. Se f^{(k)} ha un salto di ampiezza J in t_0, la sua derivata contiene J\,\delta(t - t_0), la cui trasformata non decresce: quindi \omega^{k+1}|F| resta limitato e non nullo. ∎

È un fatto di grande importanza pratica: i fronti ripidi dei segnali digitali generano armoniche fino a frequenze altissime e quindi disturbi (compatibilità elettromagnetica). Per questo i segnali veloci si “smussano” con fronti di durata controllata.

Decadimento dello spettro in decibel
Lo spettro dell’impulso rettangolare, in blu, scende di 20 dB per decade; quello dell’impulso triangolare, in arancione, di 40 dB per decade; quello della gaussiana, in verde, crolla molto più in fretta.
Impulso triangolare e suo spettro
L’impulso triangolare è la convoluzione di due impulsi rettangolari, quindi il suo spettro è il quadrato di una sinc: positivo e con lobi laterali molto più bassi di quelli della sinc semplice, tratteggiata.

Il principio di indeterminazione

Si definiscono la durata e la banda di un segnale come deviazioni standard, pesate con l’energia:

    \[ \Delta t^2 = \frac{\int t^2|f|^2dt}{\int|f|^2dt},\qquad \Delta\omega^2 = \frac{\int\omega^2|F|^2d\omega}{\int|F|^2d\omega} \]

Teorema. Per ogni segnale (che decresca abbastanza all’infinito) \Delta t\,\Delta\omega \ge \frac{1}{2}, con uguaglianza solo per la gaussiana.

Idea della dimostrazione. Per Parseval e la regola della derivata, \int\omega^2|F|^2d\omega = 2\pi\int|f'|^2dt. Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, \left|\int t f\,\bar f'\,dt\right|^2 \le \int t^2|f|^2dt\cdot\int|f'|^2dt, e integrando per parti il primo membro vale almeno \frac{1}{4}\left(\int|f|^2\right)^2. Mettendo insieme si ottiene la disuguaglianza; l’uguaglianza in Cauchy-Schwarz richiede f' \propto t f, cioè la gaussiana. ∎

È lo stesso principio di Heisenberg della meccanica quantistica, dove tempo e frequenza diventano posizione e quantità di moto.

Il teorema del campionamento, dimostrato

Teorema (Nyquist-Shannon). Se F(\omega) = 0 per |\omega| \ge \omega_M e si campiona con periodo T tale che \omega_c = \frac{2\pi}{T} \gt 2\omega_M, allora

    \[ f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(nT)\,\text{sinc}\left(\frac{\pi(t - nT)}{T}\right),\qquad \text{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x} \]

Dimostrazione. Il segnale campionato è f_c(t) = f(t)\sum_n\delta(t - nT). Il pettine di Dirac ha trasformata \omega_c\sum_k\delta(\omega - k\omega_c) (lezione sulla delta), e il prodotto nel tempo diventa una convoluzione in frequenza divisa per 2\pi: F_c(\omega) = \frac{1}{T}\sum_k F(\omega - k\omega_c). Lo spettro si ripete con periodo \omega_c. Se \omega_c \gt 2\omega_M le copie non si sovrappongono, e un filtro passa basso ideale H(\omega) = T per |\omega| \lt \omega_c/2 restituisce F(\omega). La risposta impulsiva di quel filtro è h(t) = \text{sinc}(\pi t/T), e l’uscita f_c * h è la somma della formula. ∎

Ogni campione contribuisce con una sinc centrata nel suo istante, che vale 1 lì e 0 in tutti gli altri istanti di campionamento: la formula interpola esattamente. Se invece \omega_c \lt 2\omega_M, le copie si sovrappongono e le frequenze alte “si ripiegano” su quelle basse (aliasing), in modo irreparabile: per questo prima di ogni convertitore A/D c’è un filtro anti-aliasing.

Spettro di un segnale campionato
A sinistra la frequenza di campionamento è abbastanza alta e le copie dello spettro sono separate. A destra è troppo bassa: le copie, tratteggiate, si sovrappongono e la loro somma, in rosso, non permette più di recuperare lo spettro originale.

Le tabelle da ricordare

Coppie di trasformate (a \gt 0; u è il gradino, \text{rect}_T vale 1 per |t| \lt T/2, \text{tri}_T è il triangolo di base 2T e altezza 1)

f(t)F(\omega)
\delta(t)1
12\pi\delta(\omega)
\text{rect}_T(t)T\,\text{sinc}(\omega T/2)
\text{tri}_T(t)T\,\text{sinc}^2(\omega T/2)
e^{-at}u(t)\dfrac{1}{a + i\omega}
e^{-a|t|}\dfrac{2a}{a^2 + \omega^2}
\dfrac{1}{a^2 + t^2}\dfrac{\pi}{a}e^{-a|\omega|}
e^{-t^2/(2\sigma^2)}\sigma\sqrt{2\pi}\,e^{-\sigma^2\omega^2/2}
\cos\omega_0 t\pi[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)]
\sin\omega_0 t-i\pi[\delta(\omega - \omega_0) - \delta(\omega + \omega_0)]
u(t)\pi\delta(\omega) + \dfrac{1}{i\omega}
\text{sgn}(t)\dfrac{2}{i\omega}
\sum_n\delta(t - nT)\omega_c\sum_k\delta(\omega - k\omega_c), \omega_c = \frac{2\pi}{T}

Proprietà (oltre a quelle della lezione): \mathcal F\{t f(t)\} = iF'(\omega); \mathcal F\{F(t)\} = 2\pi f(-\omega) (dualità); \mathcal F\{f(-t)\} = F(-\omega); F(0) = \int f\,dt e f(0) = \frac{1}{2\pi}\int F\,d\omega (aree); \int f\bar g\,dt = \frac{1}{2\pi}\int F\bar G\,d\omega (Parseval generalizzato).

Gli esercizi, dal livello base a quello d’esame, sono nella pagina degli esercizi collegata in cima.

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