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Metodi Matematici

La delta di Dirac, le distribuzioni e la risposta impulsiva

La delta come limite e come distribuzione, derivata del gradino, risposta impulsiva e convoluzione, trasformate di costanti, seni e gradino, pettine di Dirac e campionamento.

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Gli ingegneri usavano la “funzione” delta di Dirac molto prima che i matematici sapessero dire che cosa fosse: un impulso infinitamente breve e infinitamente alto, con area 1. Non è una funzione nel senso usuale, ma una distribuzione. Con questo concetto acquistano senso la trasformata di un seno, di una costante e del gradino, e la risposta impulsiva diventa lo strumento per descrivere qualunque sistema lineare.

L’idea: un impulso di area unitaria

Consideriamo il rettangolo \delta_\varepsilon(t) di larghezza \varepsilon e altezza 1/\varepsilon, centrato nell’origine. La sua area è sempre 1. Facendo tendere \varepsilon a zero si ottiene un “impulso” concentrato in t = 0.

La delta di Dirac come limite di rettangoli sempre più stretti e alti con area unitaria
Rettangoli di larghezza ε e altezza 1/ε, tutti con area 1: restringendoli si ottiene la delta di Dirac, disegnata come una freccia di “area” 1 concentrata nell’origine.

Come funzione il limite non ha senso (varrebbe 0 ovunque tranne in un punto dove vale infinito, e l’integrale sarebbe zero). Ma l’effetto dei rettangoli su una funzione continua \varphi ha un limite preciso:

    \[ \int_{-\infty}^{\infty}\delta_\varepsilon(t)\,\varphi(t)\,dt = \frac1\varepsilon\int_{-\varepsilon/2}^{\varepsilon/2}\varphi(t)\,dt \to \varphi(0) \]

perché la media di \varphi su un intervallo che si restringe tende al suo valore nel centro (teorema della media integrale).

La definizione

La delta di Dirac è definita dalla sua azione sulle funzioni regolari:

    \[ \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t - t_0)\,\varphi(t)\,dt = \varphi(t_0) \]

Si dice che la delta “campiona” la funzione nel punto t_0. Più in generale, una distribuzione è un modo lineare e continuo di associare un numero a ogni funzione test \varphi (infinitamente derivabile e nulla fuori da un intervallo limitato). Le funzioni ordinarie sono distribuzioni, tramite \varphi \mapsto \int f\varphi; la delta è una distribuzione che non viene da nessuna funzione.

Proprietà utili.

  • \int\delta(t)\,dt = 1;
  • f(t)\,\delta(t - t_0) = f(t_0)\,\delta(t - t_0);
  • \delta(at) = \frac{1}{|a|}\delta(t);
  • f * \delta = f: la delta è l’elemento neutro della convoluzione.

La derivata del gradino

Il gradino unitario u(t) vale 0 per t \lt 0 e 1 per t \gt 0: descrive un interruttore che si chiude. Come funzione non è derivabile in 0. Come distribuzione sì: con l’integrazione per parti, per ogni funzione test

    \[ \int u'(t)\,\varphi(t)\,dt = -\int u(t)\,\varphi'(t)\,dt = -\int_0^{\infty}\varphi'(t)\,dt = \varphi(0) \]

quindi

    \[ u'(t) = \delta(t) \]

La derivata di un salto è un impulso con area uguale al salto. È il linguaggio giusto per i circuiti: la corrente che carica un condensatore ideale quando si chiude l’interruttore su una tensione costante, i = C\,dv/dt, è proprio un impulso, e in un circuito reale viene “allargata” dalla resistenza dei fili.

La risposta impulsiva

Un sistema lineare tempo invariante è completamente descritto dalla sua risposta impulsiva h(t), l’uscita quando l’ingresso è \delta(t). Infatti qualunque ingresso si può scrivere come “somma” di impulsi:

    \[ x(t) = \int x(\tau)\,\delta(t - \tau)\,d\tau \]

Per la linearità e l’invarianza nel tempo, ogni impulso \delta(t - \tau) produce h(t - \tau), quindi

    \[ y(t) = \int x(\tau)\,h(t - \tau)\,d\tau = (x * h)(t) \]

È la convoluzione della lezione sulla trasformata di Fourier, ora dimostrata. Un sistema è causale (non risponde prima di essere stimolato) se h(t) = 0 per t \lt 0, ed è stabile (ingresso limitato, uscita limitata) se \int|h|\,dt è finito.

Esempio. Un circuito RC passa basso ha h(t) = \frac{1}{RC}e^{-t/RC}u(t): dopo il colpo, la tensione sul condensatore sale di colpo e poi si scarica esponenzialmente. In acustica si misura la risposta impulsiva di una sala con un colpo di pistola a salve o uno scoppio di palloncino, e poi la si usa per simulare l’eco di quella sala su qualsiasi registrazione.

Trasformate di Fourier che prima non esistevano

Con la delta si possono trasformare segnali che non sono integrabili.

SegnaleTrasformata di Fourier
\delta(t)1
12\pi\,\delta(\omega)
e^{i\omega_0 t}2\pi\,\delta(\omega - \omega_0)
\cos\omega_0 t\pi\big[\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)\big]
u(t)\pi\,\delta(\omega) + \dfrac{1}{i\omega}

La prima riga si legge così: un impulso contiene tutte le frequenze con la stessa ampiezza. È per questo che un fulmine disturba tutte le stazioni radio, e che la risposta impulsiva contiene tutta l’informazione sul sistema: la sua trasformata è proprio la risposta in frequenza H(\omega).

La quarta riga dice che una sinusoide pura ha uno spettro fatto di due righe, a \pm\omega_0: è ciò che si vede su un analizzatore di spettro quando si applica un segnale sinusoidale.

Il pettine di Dirac e il campionamento

Il pettine \sum_n\delta(t - nT), un treno di impulsi con periodo T, ha come trasformata un altro pettine, con periodo 2\pi/T in frequenza. Campionare un segnale vuol dire moltiplicarlo per il pettine; nel dominio della frequenza la moltiplicazione diventa una convoluzione, che copia lo spettro attorno a ogni multiplo della frequenza di campionamento. È la dimostrazione compatta del teorema del campionamento visto nella lezione sulla trasformata di Fourier.

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