Il teorema del campionamento e l’aliasing
Campionamento ideale, teorema di Nyquist-Shannon con dimostrazione e ricostruzione con la sinc, aliasing con esempi, filtro anti-aliasing, sovracampionamento e sottocampionamento.
Per elaborare un segnale con un computer bisogna trasformarlo in una sequenza di numeri, prendendone il valore a intervalli regolari: il campionamento. La domanda naturale è se così si perda qualcosa. Il teorema del campionamento risponde in modo sorprendente: se il segnale ha banda limitata e si campiona abbastanza in fretta, non si perde niente, e il segnale originale si può ricostruire esattamente. In questa lezione lo dimostriamo e vediamo cosa succede quando le condizioni non sono rispettate.
Il campionamento ideale
Campionando 
con periodo 
(frequenza di campionamento 
) si ottengono i valori 
. Per studiarli con la trasformata di Fourier si rappresentano come un treno di impulsi pesati:
![\[ x_s(t) = x(t)\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t - nT_s) = \sum_n x(nT_s)\,\delta(t - nT_s) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-326a9db9abf525f6874ccc08c273104a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Il teorema del campionamento
Teorema (Nyquist-Shannon). Se 
per 
e 
, il segnale è determinato dai suoi campioni e si ricostruisce con
![\[ x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT_s)\,\mathrm{sinc}\!\left(\frac{t - nT_s}{T_s}\right) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df707dc95e1d4dfadd34befaed0ae011_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. Il treno di impulsi è periodico, con serie di Fourier 
. Moltiplicare per 
trasla lo spettro di 
, quindi
![\[ X_s(f) = f_s\sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(f - kf_s) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-76d9dcb68e367cffd40f4860a5821d2c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Lo spettro del segnale campionato è la somma di repliche dello spettro originale, centrate in tutti i multipli di 
. Se , le repliche, larghe 
, non si sovrappongono: un filtro passa basso ideale con taglio a 
e guadagno isola la replica centrale, cioè 
. Nel tempo, filtrare significa convolvere con la risposta all’impulso del filtro, che è 
; convolvere ogni impulso 
con la sinc dà la formula. ∎
La frequenza si chiama frequenza di Nyquist. Ogni campione “porta” una sinc, e la somma delle sinc passa esattamente per tutti i campioni e interpola tra uno e l’altro.
L’aliasing
Se 
, le repliche si sovrappongono e le componenti sopra si ripiegano nella banda bassa, mescolandosi con quelle vere: è l’aliasing, e dopo il campionamento non c’è modo di separarle. Una componente a frequenza 
appare alla frequenza 
più vicina, per l’intero 
opportuno.
Esempio. Campionando a 44,1 kHz un tono a 30 kHz, si ottengono gli stessi campioni di un tono a 
kHz: un fischio udibile che nell’originale non c’era.
È lo stesso fenomeno per cui nei film le ruote delle carrozze sembrano girare all’indietro: la cinepresa campiona a 24 fotogrammi al secondo e una rotazione troppo veloce viene “vista” come una rotazione lenta.
Il campionamento in pratica
- Filtro anti-aliasing. Prima del convertitore si mette un filtro analogico passa basso che elimina tutto ciò che sta sopra , anche il rumore che non interessa: una volta campionato, non si toglie più.
- Margine. Il filtro reale ha una banda di transizione, quindi si campiona un po’ sopra . Il CD audio campiona a 44,1 kHz per un segnale fino a 20 kHz: il filtro ha tra 20 e 22,05 kHz per passare da trasparente a bloccante.
- Sovracampionamento. Campionando molto più veloce del necessario, il filtro analogico può essere semplice, e il resto del filtraggio si fa in digitale. Quasi tutti i convertitori audio moderni funzionano così.
- Ricostruzione. Un convertitore digitale-analogico tiene ogni campione costante fino al successivo (mantenimento di ordine zero): l’uscita è una gradinata, che un filtro passa basso finale arrotonda.
Campionare segnali a banda stretta
Il teorema richiede dove 
è la frequenza più alta. Per un segnale in banda traslata, per esempio un canale radio tra 100 e 101 MHz, basta in realtà una frequenza di campionamento legata alla larghezza di banda (1 MHz), purché le repliche cadano nei posti giusti: è il sottocampionamento, usato nelle radio definite via software. In alternativa si trasla prima il segnale attorno allo zero con un mixer e poi si campiona.
