Controllo digitale: campionamento, periodo e PID in forma di velocità
Mantenimento di ordine zero come ritardo di mezzo periodo con dimostrazione, scelta del periodo di campionamento, antialiasing, PID di posizione, forma in velocità dimostrata, anti-windup e passaggio senza scosse.
Oggi quasi nessun regolatore è analogico: il PID è un programma che gira in un PLC, in un sistema di controllo distribuito (DCS) o in un microcontrollore, e legge la misura a istanti regolari. Il passaggio dal continuo al discreto ha conseguenze precise: un ritardo in più nell’anello, una scelta da fare sul periodo di campionamento, e alcune forme dell’algoritmo più comode di altre. In questa lezione dimostriamo che il campionamento con mantenimento equivale a un ritardo di mezzo periodo, vediamo come scegliere il periodo, come si discretizza il PID e perché la forma in velocità risolve da sola due problemi pratici.
Campionare e mantenere
Il regolatore digitale legge la misura ogni 
secondi, calcola il comando e lo mantiene costante fino al calcolo successivo: è il mantenimento di ordine zero (ZOH, zero-order hold), realizzato dal convertitore digitale-analogico o semplicemente dall’uscita che non cambia.
Teorema. Alle frequenze basse rispetto alla frequenza di campionamento, il mantenimento di ordine zero equivale a un ritardo di 
.
Dimostrazione. La funzione di trasferimento del mantenimento, normalizzata a guadagno statico unitario, è
![\[ H(s) = \frac{1 - e^{-sT_s}}{sT_s} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-75bcab92cf5fce3de20df18d90d05b8d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
perché la sua risposta all’impulso è un rettangolo di durata e altezza 
. Posto 
, si raccoglie 
:
![\[ H = e^{-x/2}\,\frac{e^{x/2} - e^{-x/2}}{x} = e^{-x/2}\,\frac{\sinh(x/2)}{x/2} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-691cd063aa3f5d63e45afa57d731ea8c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Per 
piccolo, 
, e resta 
: un ritardo puro di mezzo periodo. ∎
Al ritardo del mantenimento si aggiunge il tempo di calcolo, se il comando viene applicato al campione successivo. Tutto questo è tempo morto in più nell’anello, e la lezione sui processi con ritardo dice quanto costa.
La scelta del periodo di campionamento
Il ritardo aggiunto deve essere piccolo rispetto alle dinamiche dell’anello. Le regole pratiche sono:
- tra un decimo e un ventesimo della costante di tempo desiderata in anello chiuso;
- non più di un quarto del tempo morto del processo, se è questo a dominare;
- per i processi industriali, i valori tipici sono 0,1-1 s per portate e pressioni, 1-10 s per temperature e livelli, minuti per le analisi di composizione.
Campionare troppo in fretta non è gratis: la derivata calcolata come differenza tra campioni vicini amplifica il rumore e la risoluzione del convertitore, e i calcoli occupano la CPU. Prima del convertitore serve sempre un filtro antialiasing (lezione sul campionamento di Teoria dei segnali): un disturbo a 50 Hz campionato a 1 s apparirebbe come una lenta oscillazione inesistente, e il regolatore cercherebbe di correggerla.
Discretizzare il PID
L’integrale si approssima con una somma e la derivata con una differenza. Con il metodo all’indietro (Eulero), all’istante 
:
![\[ u_k = K_c\left(e_k + \frac{T_s}{\tau_i}\sum_{j=0}^{k} e_j + \frac{\tau_d}{T_s}(e_k - e_{k-1})\right) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4ca4233edc6e29198b3fd84a63996c9e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
È la forma di posizione: calcola direttamente il valore del comando. Il metodo di Tustin (regola dei trapezi) è più preciso a parità di periodo e conserva la stabilità dei sistemi continui; per i periodi brevi rispetto alle dinamiche, come si usano in pratica, le differenze sono piccole. La derivata va comunque filtrata, e calcolata sulla misura invece che sull’errore.
La forma in velocità
Teorema. Il PID discreto si può scrivere in forma incrementale (o in velocità):
![\[ \Delta u_k = K_c\left[(e_k - e_{k-1}) + \frac{T_s}{\tau_i}\,e_k + \frac{\tau_d}{T_s}(e_k - 2e_{k-1} + e_{k-2})\right],\qquad u_k = u_{k-1} + \Delta u_k \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-030d5887de573222007b847882cd07f6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. Si scrive la forma di posizione all’istante e all’istante 
e si sottrae. La parte proporzionale dà 
. Nella somma dell’integrale tutti i termini fino a si cancellano e resta 
. La derivata dà ![K_c(\tau_d/T_s)[(e_k - e_{k-1}) - (e_{k-1} - e_{k-2})]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d5c2089d571a5209b6dbf9295936cdbd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, che è il termine scritto. ∎
Le due forme sono equivalenti finché l’uscita non incontra limiti, ma quella in velocità ha due vantaggi pratici importanti:
- niente integratore che si carica: lo stato è il comando stesso
. Se la valvola è tutta aperta e il comando viene limitato a 100 %, il passo successivo parte da 100 % e non da un valore interno che ha continuato a crescere. L’anti-windup è automatico, basta saturare 
; - passaggio senza scosse da manuale ad automatico: in manuale l’operatore impone
; quando si passa in automatico l’algoritmo parte dall’ultimo valore e lo modifica solo degli incrementi, senza salti.
Per questo la forma in velocità è da decenni quella dei regolatori industriali e dei blocchi PID dei PLC.
Altri dettagli dell’implementazione
- Ponderazione del riferimento: il termine proporzionale si calcola su
con 
, per ridurre il colpo sulla valvola nei cambi di riferimento senza cambiare la risposta ai disturbi. - Risoluzione e zona morta: con un convertitore a 12 bit il passo è lo 0,025 % della scala; una zona morta piccola sull’errore evita che la valvola si muova di continuo per il rumore, consumando le guarnizioni.
- Velocità di variazione: un limite sulla velocità di variazione del comando protegge attuatori e processo dalle variazioni brusche.
- Gestione dei guasti: se la misura è fuori scala o il sensore guasto, il regolatore passa in manuale mantenendo l’ultimo comando valido, o porta l’uscita in una posizione di sicurezza.
