Processi con ritardo e predittore di Smith
Limite di banda imposto dal tempo morto con dimostrazione, predittore di Smith con dimostrazione, effetto degli errori di modello e dei disturbi, approssimazione di Padé, regola della metà.
Il tempo morto è il nemico principale del controllo dei processi. Un nastro trasportatore, un tubo lungo, un analizzatore che impiega minuti a dare la composizione: in tutti questi casi il regolatore agisce “alla cieca” per un certo tempo, e se è troppo aggressivo continua a correggere un errore che ha già corretto. In questa lezione dimostriamo il limite di velocità che il ritardo impone a qualsiasi anello, vediamo il predittore di Smith con la dimostrazione del suo funzionamento, i suoi limiti, e le approssimazioni del ritardo usate nei calcoli.
Perché il ritardo è così difficile
Un ritardo puro 
ha modulo 1 a tutte le frequenze e fase 
radianti, che cresce senza limiti con la frequenza. Tutti gli altri elementi di un processo hanno ritardi di fase limitati: un polo al massimo 90°. Il ritardo invece consuma margine di fase a ogni frequenza, e prima o poi lo esaurisce.
Teorema. Per un anello con ritardo 
il cui guadagno d’anello, senza il ritardo, si comporta come un integratore attorno alla frequenza di attraversamento 
, il margine di fase vale
![\[ \varphi_m = 90° - \omega_c\theta\cdot\frac{180°}{\pi} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c5333a474f3b58a9a1c747ad2907a018_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e per avere almeno 30° di margine serve 
, cioè circa 
.
Dimostrazione. Con 
il modulo vale 1 per 
, e la fase in quel punto è 
(in radianti 
). Il margine di fase è la distanza da 
: 
in gradi. Imponendo 
si ottiene 
rad. ∎
L’integratore attorno all’attraversamento è la forma ideale di un anello ben progettato, e qualsiasi altra forma consuma ancora più fase. La conclusione vale quindi in generale: la banda dell’anello chiuso non può superare circa 
, e la costante di tempo in anello chiuso non può scendere molto sotto . È la ragione profonda della scelta 
nella lezione sulla taratura. Il primo rimedio, quando è possibile, è quindi fisico: avvicinare il sensore al punto di intervento, ridurre i volumi morti, usare un analizzatore più rapido.
Il predittore di Smith
Nel 1957 Otto Smith propose un’idea elegante: se il ritardo non si può eliminare dal processo, lo si può eliminare dall’anello, usando un modello. Il regolatore riceve in retroazione non la misura reale, ma una previsione di come sarebbe l’uscita se il ritardo non ci fosse, corretta con la differenza tra la misura e il modello.
Teorema. Se il modello è esatto (
, 
), con il predittore di Smith
![\[ \frac{y}{r} = \frac{C\,G}{1 + C\,G}\,e^{-\theta s} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-31e0d088a9d8d868a660958579886625_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
cioè il ritardo esce dall’equazione caratteristica, e il regolatore 
si progetta per il processo senza ritardo.
Dimostrazione. Il segnale di retroazione è
![\[ f = G_m u + \left(y - G_m e^{-\theta_m s}u\right) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e285d1d8d894affadfe3bf0b83c836f6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Con 
e modello esatto, il termine tra parentesi è nullo, e 
: la retroazione è l’uscita del processo senza ritardo. Allora 
, da cui 
, e
![\[ y = G e^{-\theta s}u = \frac{CG}{1 + CG}\,e^{-\theta s}\,r \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5df01026000fd2a98037361ad4552e50_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
L’equazione caratteristica è 
, senza ritardo. ∎
La risposta al riferimento è quella che si otterrebbe senza ritardo, semplicemente traslata di : non si può fare di meglio, perché l’informazione impiega comunque per attraversare il processo.
I limiti del predittore
- Gli errori di modello. Il termine di correzione
non è più nullo se il modello è sbagliato, e il ritardo rientra nell’anello. Un errore sul tempo morto è particolarmente dannoso: con un regolatore aggressivo, sbagliare del 20-30 % può rendere instabile l’anello. Per questo il regolatore va tarato con prudenza, e il predittore si usa dove il ritardo è ben noto e costante, come in un trasporto a velocità fissa. - I disturbi. Il predittore migliora la risposta al riferimento, ma un disturbo che entra nel processo si vede comunque solo dopo , e la sua correzione arriva al processo dopo un altro . Per i disturbi il vantaggio rispetto a un PI ben tarato è spesso modesto.
- I processi integranti. La struttura base non funziona per i processi instabili o integranti: una piccola differenza tra processo e modello produce un errore che cresce senza limiti. Esistono varianti modificate per questi casi.
Il predittore di Smith si usa nelle cartiere e nei laminatoi (il sensore di spessore è a valle della macchina), nei forni e, oggi, nel controllo attraverso le reti di comunicazione, dove il ritardo è quello della rete.
Approssimare il ritardo
Per calcoli, simulazioni e progetti con strumenti che lavorano solo con funzioni razionali, il ritardo si approssima:
- al primo ordine con la serie di Taylor,
, come nella sintesi diretta della lezione sulla taratura; - con l’approssimazione di Padé del primo ordine:
![\[ e^{-\theta s} \approx \frac{1 - \theta s/2}{1 + \theta s/2} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3ce1ea7b41a38d0c348c889f95776d1f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
che ha modulo esattamente 1 a tutte le frequenze, come il ritardo vero, e fase corretta fino a circa 
. Introduce però uno zero a parte reale positiva: la risposta al gradino parte nella direzione sbagliata invece di restare ferma.
Infine, nella stima di un modello, un insieme di piccole costanti di tempo in cascata si comporta, visto da lontano, come un ritardo: per la “regola della metà” di Skogestad, la più grande delle costanti trascurate si divide a metà tra la costante principale e il ritardo, e le altre si sommano al ritardo.
