Criterio di Nyquist e margini di stabilità

Il criterio di Routh e il luogo delle radici richiedono un modello del processo come funzione razionale. Spesso invece si conosce il processo attraverso la sua risposta in frequenza, misurata con un analizzatore o ricavata da prove, e il processo può contenere ritardi puri che non sono razionali. Il criterio di Nyquist decide la stabilità dell’anello chiuso guardando solo la risposta in frequenza dell’anello aperto, e fornisce in più una misura di quanto il sistema è lontano dall’instabilità: i margini di guadagno e di fase.

L’idea

L’anello chiuso è instabile se ha radici nel semipiano destro. Il punto critico è : se per qualche frequenza la funzione d’anello vale esattamente −1, il segnale che fa il giro dell’anello torna uguale a se stesso (guadagno 1, sfasamento 180°, che con il segno meno del confronto diventa 360°) e il sistema oscilla da solo. È lo stesso principio di un oscillatore elettronico, e del fischio di un microfono troppo vicino all’altoparlante.

Il criterio di Nyquist

Il diagramma di Nyquist è la curva descritta nel piano complesso da quando va da a (la parte per è la simmetrica rispetto all’asse reale).

Criterio (enunciato). Sia il numero di poli di nel semipiano destro e il numero di giri che il diagramma di Nyquist compie attorno al punto −1, contati positivi in senso orario. Il numero di poli dell’anello chiuso nel semipiano destro è

L’anello chiuso è stabile se e solo se .

Da dove viene. È un’applicazione del principio dell’argomento, conseguenza del teorema dei residui (lezioni di Metodi matematici): quando percorre una curva chiusa che racchiude tutto il semipiano destro, l’immagine gira attorno all’origine un numero di volte pari alla differenza tra zeri e poli di racchiusi. Gli zeri di sono i poli dell’anello chiuso, i suoi poli sono quelli di ; e girare attorno all’origine per equivale a girare attorno a −1 per . (Se ha poli sull’asse immaginario, come gli integratori, la curva li aggira con piccole semicirconferenze.)

Il caso comune. Se è stabile (), l’anello chiuso è stabile se e solo se il diagramma non circonda il punto −1.

Un esempio

Il diagramma attraversa il semiasse reale negativo dove la fase vale −180°: rad/s, con . Il punto −1 resta fuori: l’anello chiuso è stabile. Moltiplicando il guadagno per 3 la curva passerebbe esattamente per −1: è lo stesso limite che darebbe il criterio di Routh sull’equazione ().

I margini di stabilità

Più la curva passa lontano da −1, più il sistema è robusto. Si misura la distanza con due numeri, che si leggono comodamente anche sui diagrammi di Bode di :

• margine di guadagno : di quanto si può moltiplicare il guadagno prima dell’instabilità, , dove è la frequenza in cui la fase vale −180°;
• margine di fase : quanto ritardo di fase in più si può aggiungere prima dell’instabilità, , dove è la frequenza di attraversamento in cui (0 dB).

Nell’esempio: , cioè 9,5 dB, e rad/s con .

Margine di fase e smorzamento. Per un anello che si comporta come un secondo ordine, vale con buona approssimazione (con in gradi, fino a circa 60°). Un margine di 25° significa e una sovraelongazione intorno al 44% (simulando l’anello chiuso se ne misura il 49%): stabile, ma troppo oscillante. Nella pratica si chiedono margini di fase di 45-60° e margini di guadagno di almeno 6 dB. Nella lezione sulle reti correttrici aumenteremo il margine di questo esempio.

I ritardi. Un ritardo puro (il tempo di trasporto in un nastro, la latenza di una rete) ha modulo 1 e fase : non cambia il diagramma del modulo, ma toglie margine di fase in misura crescente con la frequenza. Il criterio di Nyquist lo tratta senza difficoltà, ed è uno dei motivi per cui il progetto in frequenza è così usato nell’industria.