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Elettronica Applicata

Oscillatori: Barkhausen, ponte di Wien, trigger di Schmitt e quarzi

Criterio di Barkhausen, oscillatore a ponte di Wien con dimostrazione, trigger di Schmitt e isteresi, periodo dell'oscillatore a rilassamento con dimostrazione, NE555 e quarzi.

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Ogni circuito digitale ha bisogno di un clock, ogni radio di un oscillatore locale, ogni alimentatore switching di un’onda di riferimento. Gli oscillatori sono amplificatori con una retroazione positiva voluta. In questa lezione vediamo il criterio di Barkhausen, l’oscillatore a ponte di Wien, il trigger di Schmitt e l’oscillatore a rilassamento, e accenniamo ai quarzi.

Il criterio di Barkhausen

Un amplificatore A con una rete di retroazione \beta(j\omega) che riporta l’uscita all’ingresso in fase (retroazione positiva) può mantenere un’oscillazione sinusoidale senza alcun ingresso se, alla frequenza \omega_0,

    \[ A\,\beta(j\omega_0) = 1 \]

cioè guadagno d’anello di modulo 1 e fase 0° (o un multiplo di 360°). Il segnale fa il giro dell’anello e torna identico: si mantiene da solo. È lo stesso punto critico del criterio di Nyquist visto dall’altra parte: lì andava evitato, qui si cerca.

In pratica l’oscillazione parte dal rumore, quindi all’accensione il guadagno d’anello deve essere un po’ maggiore di 1: l’ampiezza cresce finché qualche non linearità (la saturazione dell’amplificatore, un limitatore, un controllo automatico del guadagno) non riporta il guadagno medio esattamente a 1.

L’oscillatore a ponte di Wien

La rete di retroazione è un passa banda fatto da un RC serie e un RC parallelo.

Teorema. La rete di Wien con resistori R e condensatori C uguali ha, alla frequenza f_0 = \frac{1}{2\pi RC}, fase zero e attenuazione \beta = 1/3.

Dimostrazione. Con Z_s = R + \frac{1}{j\omega C} e Z_p = \frac{R}{1 + j\omega RC}, \beta = \frac{Z_p}{Z_s + Z_p}. Moltiplicando numeratore e denominatore per (1 + j\omega RC)\,j\omega C:

    \[ \beta = \frac{j\omega RC}{(1 + j\omega RC)^2 + j\omega RC} = \frac{j\omega RC}{1 - \omega^2R^2C^2 + 3j\omega RC} \]

Per \omega RC = 1 il termine reale al denominatore si annulla e \beta = j/(3j) = 1/3, reale. ∎

L’amplificatore deve quindi avere guadagno esattamente 3: un non invertente con R_2 = 2R_1. Con R = 10 kΩ e C = 16 nF si ottiene circa 995 Hz. Per stabilizzare l’ampiezza, Hewlett e Packard nel loro primo prodotto (1939) misero al posto di R_1 una lampadina a incandescenza: scaldandosi aumenta la resistenza e riduce il guadagno quanto basta. Oggi si usano diodi o un FET come resistenza variabile.

Il trigger di Schmitt

Un comparatore semplice cambia stato quando l’ingresso attraversa una soglia: se l’ingresso è rumoroso e lento, attorno alla soglia l’uscita commuta avanti e indietro decine di volte. Il trigger di Schmitt risolve il problema con una retroazione positiva che crea due soglie diverse.

Caratteristica con isteresi del trigger di Schmitt e forme d'onda dell'oscillatore a rilassamento
A sinistra l’uscita in funzione dell’ingresso: passa da alta a bassa quando l’ingresso supera +βVsat e torna alta solo quando scende sotto −βVsat, percorrendo un ciclo di isteresi. A destra l’oscillatore a rilassamento: la tensione del condensatore sale e scende in modo esponenziale tra le due soglie, mentre l’uscita è un’onda quadra.

Con l’uscita saturata a \pm V_{sat} e un partitore che riporta sull’ingresso non invertente la frazione \beta = R_1/(R_1 + R_2), le soglie sono \pm\beta V_{sat}: il segnale deve attraversare l’intera isteresi 2\beta V_{sat} per far commutare di nuovo l’uscita. Con V_{sat} = 12 V, R_1 = 10 kΩ e R_2 = 40 kΩ, \beta = 0{,}2 e le soglie sono ±2,4 V. I trigger di Schmitt ripuliscono i segnali dei pulsanti, dei sensori e delle linee di comunicazione lunghe; molti ingressi dei microcontrollori li hanno incorporati.

L’oscillatore a rilassamento

Aggiungendo al trigger di Schmitt (invertente) un resistore R dall’uscita all’ingresso invertente e un condensatore C verso massa si ottiene un generatore di onde quadre.

Teorema. Il periodo dell’oscillazione è

    \[ T = 2RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta} \]

Dimostrazione. Con l’uscita a +V_{sat}, il condensatore si carica verso +V_{sat} partendo da -\beta V_{sat}: v_C(t) = V_{sat} - (1 + \beta)V_{sat}\,e^{-t/RC}. Quando raggiunge +\beta V_{sat} l’uscita commuta: (1 + \beta)e^{-t_1/RC} = 1 - \beta, cioè t_1 = RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}. Per simmetria la scarica dura lo stesso tempo, e il periodo è il doppio. ∎

Esempio. R = 10 kΩ, C = 100 nF, \beta = 0{,}2: T = 2\cdot 10^{-3}\cdot\ln 1{,}5 \approx 0{,}81 ms, circa 1,23 kHz. Lo stesso principio, con soglie a 1/3 e 2/3 dell’alimentazione, è quello del timer NE555 nella sua configurazione astabile.

I quarzi

Gli oscillatori RC hanno una frequenza che dipende dalla tolleranza e dalla temperatura dei componenti: precisione dell’1% nel migliore dei casi. Per i clock dei microprocessori, degli orologi e delle radio si usa un cristallo di quarzo: una lamina che, per effetto piezoelettrico, vibra meccanicamente a una frequenza precisissima e si comporta elettricamente come un circuito risonante con fattore di qualità di decine di migliaia. Un quarzo comune ha una precisione di 20 parti per milione; quello da 32 768 Hz (2^{15}) degli orologi permette, dividendo per due quindici volte, di ottenere esattamente un impulso al secondo.

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