Oscillatori: Colpitts, stabilità e rumore di fase
Frequenza e condizione d'innesco del Colpitts dimostrate, stabilità della frequenza in funzione di Q dimostrata, rumore di fase e modello di Leeson, quarzi, TCXO e OCXO.
Ogni radio ha almeno un oscillatore: fissa la frequenza di trasmissione e quella di conversione nel ricevitore. Non basta che oscilli: deve avere la frequenza giusta, stabile, e uno spettro pulito. In questa lezione vediamo la condizione di oscillazione, l’oscillatore Colpitts con la dimostrazione della sua frequenza e della condizione di innesco, il legame tra fattore di qualità e stabilità della frequenza dimostrato, il rumore di fase con le sue conseguenze, e i quarzi.
La condizione di oscillazione
Un oscillatore è un amplificatore con una retroazione selettiva in frequenza. Per il criterio di Barkhausen (lezione sugli oscillatori di Elettronica applicata), un’oscillazione sinusoidale si mantiene alla frequenza a cui il guadagno d’anello ha modulo 1 e fase multipla di 360°. All’accensione il guadagno deve essere un po’ maggiore di 1, perché il rumore cresca fino a diventare un’oscillazione; poi la non linearità (la compressione dell’amplificatore, lezione sulla non linearità) riduce il guadagno medio fino a 1 e stabilizza l’ampiezza.
L’oscillatore Colpitts
Il Colpitts usa una rete a π con un’induttanza e due condensatori, e un amplificatore invertente di transconduttanza 
; la rete fornisce gli altri 180° di sfasamento.
Teorema. Il circuito oscilla alla frequenza
![\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC_s}},\qquad C_s = \frac{C_1C_2}{C_1 + C_2} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-84a806518585ccaace890912b4172726_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e si innesca se 
.
Dimostrazione. Siano 
la tensione d’ingresso (su 
) e 
quella d’uscita (su 
); l’amplificatore inietta nel nodo d’uscita la corrente 
. Legge delle correnti al nodo 1, dove l’ingresso dell’amplificatore non assorbe corrente: 
, da cui 
e 
. Al nodo 2:
![\[ v_2\left(\frac{1}{R} + j\omega C_2\right) + j\omega C_1v_1 + g_mv_1 = 0 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2631aec182564692c808332fa6ab5a00_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Sostituendo e dividendo per 
:
![\[ (1 - \omega^2LC_1)\left(\frac{1}{R} + j\omega C_2\right) + j\omega C_1 + g_m = 0 \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d2bcc2bac7ffb854b03cdaf8e92efb8f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La parte immaginaria si annulla se 
, cioè 
, che dà 
. La parte reale dà allora 
: è il guadagno che sostiene esattamente l’oscillazione, e per l’innesco serve un valore maggiore. ∎
Esempio. 
µH, 
pF: 
pF e 
MHz. Con 
kΩ serve 
mS; si progetta con un margine di 3-5 volte per garantire l’innesco con le tolleranze e la temperatura. Il rapporto 
fissa quanto segnale torna all’ingresso.
Fattore di qualità e stabilità
La frequenza di un oscillatore si sposta quando qualcosa sfasa l’anello: la capacità del transistor che cambia con la temperatura, la tensione di alimentazione, il carico. Un risuonatore con fattore di qualità alto rende la frequenza poco sensibile a questi sfasamenti.
Teorema. Se nell’anello compare uno sfasamento spurio 
, la frequenza si sposta di circa
![\[ \frac{\Delta\omega}{\omega_0} = \frac{\Delta\varphi}{2Q} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-30738909b1fd270e27a6750ef8cf64fe_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. Vicino alla risonanza la fase dell’impedenza di un risuonatore parallelo è 
, dove 
(lezione sui circuiti risonanti). Per mantenere la fase totale dell’anello a zero, il risuonatore deve compensare lo sfasamento spurio, cioè lavorare alla frequenza in cui 
. ∎
Esempio. Uno sfasamento di 0,01 rad con un risuonatore LC di 
sposta la frequenza di 
, 100 ppm: a 1 GHz sono 100 kHz, inaccettabili per un canale radio. Con un quarzo di 
lo spostamento scende a 
.
Il rumore di fase
Il rumore dei componenti fa fluttuare anche la fase dell’oscillatore: lo spettro non è una riga, ma una riga con due “gonne” ai lati. Si misura come rumore di fase 
: la potenza in 1 Hz di banda a distanza 
dalla portante, relativa alla portante, in dBc/Hz. Il modello di Leeson lo stima così:
![\[ \mathcal{L}(\Delta f) \approx 10\log_{10}\left[\frac{2FkT}{P_s}\left(1 + \left(\frac{f_0}{2Q\,\Delta f}\right)^2\right)\right] \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c4771c3acb91512de44e44ce42bace65_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove 
è la cifra di rumore dell’amplificatore e 
la potenza nel risuonatore. Il risuonatore converte il rumore di fase dell’amplificatore in rumore di frequenza vicino alla portante, con andamento 
; di nuovo, un 
alto e una potenza alta lo riducono.
Le conseguenze sono pratiche. Nel ricevitore, un segnale forte su un canale adiacente si mescola con le gonne dell’oscillatore locale e cade nel canale voluto (mescolamento reciproco); nelle modulazioni digitali dense come la 256-QAM il rumore di fase ruota i punti della costellazione e aumenta gli errori (lezione sulle prestazioni delle modulazioni digitali).
I quarzi
Un cristallo di quarzo tagliato in una lamina vibra meccanicamente, e per l’effetto piezoelettrico si comporta come un circuito risonante con da 
a 
, molto stabile con la temperatura. È il riferimento di quasi tutti gli oscillatori: gli oscillatori a quarzo compensati in temperatura (TCXO) raggiungono una stabilità di 0,5 ppm, quelli in fornetto termostatato (OCXO) di 
. Le frequenze alte e variabili si ottengono agganciando un oscillatore controllato in tensione al quarzo con un anello ad aggancio di fase (lezione sulla FM e i PLL di Comunicazioni elettriche), che dentro la sua banda ne eredita la stabilità e il basso rumore di fase.
