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Elettronica per le Telecomunicazioni

Radio software: campionamento passa-banda e ricevitori I/Q

Condizione del campionamento passa-banda dimostrata con esempio, limite del jitter dimostrato, ricevitore a conversione diretta, reiezione dell'immagine con squilibrio I/Q dimostrata.

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Nelle radio moderne la parte analogica si è ridotta al minimo: un amplificatore, un mixer o nemmeno quello, e poi un convertitore analogico-digitale; filtri, demodulazione e decodifica sono software. È la radio definita dal software (SDR), dal telefono alla stazione base. Il cuore del problema si sposta sul campionamento e sulla precisione dei due rami in fase e in quadratura. In questa lezione vediamo il campionamento passa-banda con la dimostrazione della condizione di non sovrapposizione e un esempio, il limite dovuto all’incertezza temporale del campionamento, il ricevitore a conversione diretta, e il rapporto di reiezione dell’immagine con la sua dimostrazione e un esempio.

Il campionamento passa-banda

Il teorema del campionamento (lezione sul campionamento di Teoria dei segnali) chiede di campionare a più del doppio della frequenza massima. Ma un segnale radio occupa solo una banda stretta [f_L, f_H] di larghezza B = f_H - f_L, lontana dallo zero: basta una frequenza di campionamento legata a B, purché le repliche dello spettro non si sovrappongano. È il sottocampionamento.

Teorema. Un segnale reale con banda [f_L, f_H] si può campionare senza sovrapposizioni con frequenza f_s se e solo se, per qualche intero n con 1 \le n \le \lfloor f_H/B\rfloor,

    \[ \frac{2f_H}{n} \le f_s \le \frac{2f_L}{n - 1} \]

(per n = 1 il limite superiore manca e si ritrova la condizione ordinaria f_s \ge 2f_H).

Dimostrazione. Lo spettro di un segnale reale occupa la banda positiva [f_L, f_H] e la sua immagine negativa [-f_H, -f_L]; il campionamento le replica a tutti i multipli di f_s. Le repliche della banda positiva sono traslate di multipli di f_s e non si sovrappongono tra loro se f_s \ge B. Il rischio è che una replica della banda negativa, [kf_s - f_H, kf_s - f_L], cada sulla banda positiva. Le repliche negative stanno tutte fuori da [f_L, f_H] se ce n’è una, la (n-1)-esima, interamente a sinistra, e la successiva, la n-esima, interamente a destra: (n - 1)f_s - f_L \le f_L e nf_s - f_H \ge f_H. Sono le due disuguaglianze dell’enunciato. L’intervallo non è vuoto solo se 2f_H/n \le 2f_L/(n - 1), cioè n \le f_H/B. ∎

Esempio. Una frequenza intermedia di 70 MHz con banda di 10 MHz, cioè da 65 a 75 MHz. Con n = 3: 50 \le f_s \le 65 MHz. Un convertitore a 56 MHz campiona correttamente un segnale a 70 MHz, e la banda ricompare tra 9 e 19 MHz, dove la si elabora numericamente. Con n = 7 si potrebbe scendere a circa 21,5 MHz, ma l’intervallo ammesso (da 21,43 a 21,67 MHz) è così stretto che le tolleranze del clock lo rendono impraticabile.

Il convertitore deve però avere una banda analogica che arrivi a f_H, e un filtro passa-banda davanti deve eliminare tutto ciò che sta fuori da [f_L, f_H], perché ogni zona di Nyquist si ripiega sulla stessa banda digitale.

L’incertezza dell’istante di campionamento

Campionando un segnale ad alta frequenza, un piccolo errore sull’istante di campionamento (il jitter del clock) diventa un grande errore di ampiezza, perché il segnale cambia rapidamente.

Teorema. Un jitter efficace \sigma_t limita il rapporto segnale-rumore di una sinusoide di frequenza f a

    \[ SNR_{jitter} = -20\log_{10}(2\pi f\sigma_t) \]

Dimostrazione. Per x = A\sin(2\pi ft), un errore temporale \delta t produce un errore \delta x \approx (dx/dt)\delta t = 2\pi fA\cos(2\pi ft)\,\delta t. Con \delta t indipendente dal segnale, il valore quadratico medio dell’errore è (2\pi fA)^2\sigma_t^2/2, quello del segnale A^2/2: il rapporto è 1/(2\pi f\sigma_t)^2. ∎

Esempio. A 75 MHz con 1 ps di jitter: -20\log_{10}(4{,}7\cdot 10^{-4}) \approx 66 dB, cioè circa 11 bit effettivi (lezione sulla quantizzazione), qualunque sia il numero di bit del convertitore. Per il campionamento diretto a gigahertz servono clock con jitter di decine di femtosecondi.

Il ricevitore a conversione diretta

Ricevitore a conversione diretta
Il segnale a radiofrequenza RF entra in due mixer pilotati dall’oscillatore locale LO con un coseno e con un meno seno, sfasati di 90 gradi. Ciascun ramo passa per un filtro passa-basso LPF e un convertitore ADC, producendo le componenti I e Q, che il processore DSP tratta come un unico segnale complesso.

Nel ricevitore a conversione diretta (o a frequenza intermedia nulla) l’oscillatore locale è alla stessa frequenza della portante, e il segnale scende direttamente in banda base. Servono due rami, moltiplicati per il coseno e per il seno: le due componenti I (in fase) e Q (in quadratura) formano il segnale complesso I + jQ, che distingue le frequenze positive da quelle negative, cioè ciò che sta sopra la portante da ciò che sta sotto. Un ramo solo le sovrapporrebbe. Non c’è una frequenza immagine da filtrare con componenti esterni, e i filtri di canale diventano filtri passa-basso integrati: è l’architettura di quasi tutti i ricetrasmettitori integrati. I suoi problemi sono la tensione continua in uscita (l’oscillatore locale che si mescola con sé stesso), il rumore flicker in banda base e lo squilibrio tra i rami.

Lo squilibrio tra I e Q

Se i due rami non sono perfettamente uguali, con un errore di guadagno relativo \varepsilon e un errore di fase \varphi rispetto ai 90° ideali, un segnale a frequenza +f lascia un residuo a -f: il canale speculare rispetto alla portante interferisce con quello voluto.

Teorema. Il rapporto di reiezione dell’immagine è

    \[ IRR = \frac{1 + 2g\cos\varphi + g^2}{1 - 2g\cos\varphi + g^2} \approx \frac{4}{\varepsilon^2 + \varphi^2},\qquad g = 1 + \varepsilon \]

Dimostrazione. L’oscillatore complesso ideale è \cos\omega t - j\sin\omega t = e^{-j\omega t}. Con gli errori diventa \cos\omega t - jg\sin(\omega t + \varphi). Scrivendo coseno e seno con gli esponenziali complessi, questo è \alpha e^{-j\omega t} + \beta e^{+j\omega t} con \alpha = (1 + ge^{-j\varphi})/2 e \beta = (1 - ge^{j\varphi})/2. Il primo termine porta in banda base il segnale voluto, il secondo l’immagine. Il rapporto delle potenze è |\alpha|^2/|\beta|^2 = (1 + 2g\cos\varphi + g^2)/(1 - 2g\cos\varphi + g^2). Per errori piccoli il numeratore è circa 4, e il denominatore (1 - g)^2 + 2g(1 - \cos\varphi) \approx \varepsilon^2 + \varphi^2. ∎

Esempio. Errore di guadagno dell’1 % e di fase di 1° (0,0175 rad): IRR \approx 4/(10^{-4} + 3{,}05\cdot 10^{-4}) \approx 9900, circa 40 dB. Con componenti analogici non si va molto oltre i 30-40 dB; i ricevitori moderni stimano e correggono lo squilibrio numericamente, arrivando a 60-70 dB. È un esempio tipico della radio moderna: l’elettronica analogica imperfetta più un’elaborazione numerica che ne compensa i difetti.

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