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Misure Elettriche

Incertezza di misura: errori, tipo A e tipo B, propagazione

Errori sistematici e casuali, incertezza della media con dimostrazione, distribuzione uniforme e incertezza di tipo B, legge di propagazione dimostrata, incertezza estesa, scrittura del risultato e riferibilità.

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Misurare significa confrontare una grandezza con un campione e dichiarare non solo un numero, ma anche quanto ci si può fidare di quel numero. Un risultato senza incertezza non è un risultato di misura: “la resistenza vale 500 Ω” non dice se possiamo distinguerla da una da 501 Ω. In questa lezione vediamo errori sistematici e casuali, le due vie per valutare l’incertezza (tipo A e tipo B), la legge di propagazione con la sua dimostrazione e il modo corretto di scrivere un risultato.

Misurando, errore e incertezza

Il misurando è la grandezza che si vuole misurare, per esempio la tensione ai capi di un resistore in condizioni precise. Il suo valore vero non è conoscibile: ogni misura lo approssima. La differenza tra il valore misurato e quello vero è l’errore, che quindi non si conosce nemmeno lui. Si conosce invece l’incertezza: un parametro che descrive l’ampiezza dell’intervallo in cui si ritiene ragionevolmente che si trovi il valore del misurando.

Gli errori si dividono in due famiglie:

  • sistematici: si ripetono uguali a ogni misura (uno strumento starato, l’effetto di carico di un voltmetro, la resistenza dei cavi). Ripetere la misura non li riduce; si correggono quando sono noti e se ne stima l’incertezza residua;
  • casuali: cambiano da una lettura all’altra (rumore, piccole variazioni dell’ambiente). Si riducono facendo la media di più letture.

Il vocabolario internazionale distingue l’esattezza (quanto la media è vicina al valore vero: riguarda gli errori sistematici) dalla precisione (quanto le letture sono vicine tra loro: riguarda quelli casuali). L’accuratezza comprende entrambe.

Incertezza di tipo A: dalla statistica delle letture

Si fanno n letture indipendenti x_1, \dots, x_n. La stima migliore è la media, e la dispersione si misura con lo scarto tipo sperimentale:

    \[ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,\qquad s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} \]

Teorema. L’incertezza tipo della media vale u(\bar{x}) = s/\sqrt{n}.

Dimostrazione. Le letture sono variabili aleatorie indipendenti con la stessa varianza \sigma^2. La varianza di una somma di variabili indipendenti è la somma delle varianze, e moltiplicare per una costante c moltiplica la varianza per c^2. Quindi

    \[ \mathrm{Var}(\bar{x}) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Var}(x_i) = \frac{n\sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n} \]

e stimando \sigma con s si ha u(\bar{x}) = s/\sqrt{n}. ∎

La conseguenza pratica: per dimezzare l’incertezza casuale servono quattro volte tante letture. Oltre un certo punto non conviene più, perché domina la parte sistematica, che la media non tocca.

Incertezza di tipo B: dalle informazioni disponibili

Quando non si ripete la misura, l’incertezza si ricava da altre informazioni: le specifiche del costruttore, il certificato di taratura, la risoluzione del display. Spesso si sa solo che l’errore sta in un intervallo \pm a, senza preferire nessun valore: si assume allora una distribuzione uniforme.

Teorema. Per una distribuzione uniforme su [-a, a] l’incertezza tipo è u = a/\sqrt{3}.

Dimostrazione. La densità vale 1/(2a) nell’intervallo e la media è zero, quindi

    \[ u^2 = \int_{-a}^{a} x^2\,\frac{1}{2a}\,dx = \frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^3}{3} = \frac{a^2}{3} \]

da cui u = a/\sqrt{3}. ∎

Esempio. Un multimetro dichiara ±(0,05 % della lettura + 2 cifre) sulla portata 6 V con risoluzione 1 mV. Leggendo 5,000 V il limite è a = 2{,}5 + 2 = 4{,}5 mV, e l’incertezza tipo è 4{,}5/\sqrt{3} \approx 2{,}6 mV.

La propagazione dell’incertezza

Quasi mai si misura direttamente il misurando: lo si calcola da altre grandezze, y = f(x_1, \dots, x_N). Come si combinano le loro incertezze?

Teorema (legge di propagazione). Se le grandezze d’ingresso sono indipendenti e le incertezze piccole,

    \[ u_c^2(y) = \sum_{i=1}^{N}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 u^2(x_i) \]

Dimostrazione. Per piccole variazioni si sviluppa f al primo ordine attorno ai valori stimati: y - \bar{y} \approx \sum_i c_i\,(x_i - \bar{x}_i), con c_i = \partial f/\partial x_i (i coefficienti di sensibilità). La varianza di una combinazione lineare di variabili indipendenti è \sum_i c_i^2\,\mathrm{Var}(x_i), come nella dimostrazione precedente. Sostituendo le varianze con i quadrati delle incertezze si ottiene la formula. ∎

Due casi particolari si usano di continuo:

  • per una somma o differenza y = x_1 \pm x_2 le incertezze assolute si sommano in quadratura: u_c = \sqrt{u_1^2 + u_2^2};
  • per un prodotto o quoziente y = x_1 x_2 oppure x_1/x_2 si sommano in quadratura le incertezze relative: u_c/|y| = \sqrt{(u_1/x_1)^2 + (u_2/x_2)^2}. Basta calcolare le derivate e dividere per y^2.

La somma in quadratura è sempre minore della somma semplice: due errori indipendenti difficilmente sono entrambi al massimo e con lo stesso segno. Se invece le grandezze sono correlate (per esempio misurate con lo stesso strumento starato), la formula va completata con i termini di covarianza.

Esempio. Si misura una resistenza con il metodo voltamperometrico: V = 5{,}000 V con incertezza relativa 0,10 %, I = 10{,}00 mA con incertezza relativa 0,20 %. Allora R = V/I = 500{,}0 Ω e

    \[ \frac{u_c(R)}{R} = \sqrt{0{,}10^2 + 0{,}20^2}\ \% \approx 0{,}22\ \% \quad\Rightarrow\quad u_c(R) \approx 1{,}1\ \Omega \]

La corrente pesa di più: per migliorare la misura conviene un amperometro migliore, non un voltmetro migliore. Questo è il vero uso del bilancio d’incertezza: dice dove investire.

Incertezza estesa e scrittura del risultato

L’incertezza tipo corrisponde a una deviazione standard. Se la distribuzione del risultato è circa gaussiana, l’intervallo \bar{x} \pm u contiene il valore con probabilità di circa il 68 %. Per dichiarazioni più sicure si usa l’incertezza estesa U = k\,u_c con fattore di copertura k = 2, che corrisponde a circa il 95 %.

Distribuzione gaussiana delle letture con gli intervalli più o meno u e più o meno 2u
Distribuzione delle letture attorno alla media: l’intervallo di ampiezza più o meno u contiene circa il 68 % dei valori, quello di ampiezza più o meno 2u (incertezza estesa con k = 2) circa il 95 %.

Il risultato si scrive così: R = (500{,}0 \pm 2{,}2)\ \Omega con k = 2. Le regole pratiche:

  • l’incertezza si arrotonda a una o due cifre significative: scrivere 2,183 Ω vuol dire pretendere di conoscere l’incertezza dell’incertezza;
  • il valore si arrotonda alla stessa posizione decimale dell’incertezza;
  • si dichiara sempre il fattore di copertura o il livello di confidenza.

Taratura e riferibilità

Uno strumento è affidabile solo se è stato confrontato con un campione migliore, e questo con uno ancora migliore, fino ai campioni nazionali delle unità del Sistema Internazionale (in Italia custoditi dall’INRiM). Questa catena ininterrotta di tarature, ciascuna con la sua incertezza dichiarata, è la riferibilità metrologica. Il certificato di taratura indica le correzioni da applicare e la loro incertezza, che entra nel bilancio come contributo di tipo B. Per questo nei laboratori gli strumenti hanno un’etichetta con la data della prossima taratura: dopo quella data le specifiche non sono più garantite.

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