Vai al contenuto
Misure Elettriche

Misure di frequenza e tempo: contatori, base dei tempi e varianza di Allan

Conteggio diretto e periodimetro, errore di più o meno un conteggio, frequenza di scambio dimostrata, contatori reciproci, errore della base dei tempi, oscillatori di riferimento, deviazione di Allan, errore di trigger.

5 min di lettura 0 commenti

Frequenza e tempo sono le grandezze che si misurano con la precisione più alta in assoluto: un orologio atomico sbaglia di meno di un secondo in milioni di anni, e un contatore da laboratorio legge dieci o dodici cifre significative. Il motivo è che contare è facile, e contare bene è solo questione di avere un buon riferimento. In questa lezione vediamo il frequenzimetro e il periodimetro con i loro errori di conteggio, il punto di scambio tra i due con la dimostrazione, l’errore della base dei tempi, gli oscillatori di riferimento e la varianza di Allan.

Il frequenzimetro a conteggio diretto

Il principio è elementare: si apre una porta per un tempo T_g noto con precisione e si contano i fronti del segnale che passano. Se il segnale ha frequenza f, il conteggio è circa N = f\,T_g, e lo strumento mostra N/T_g. Il tempo di porta si ricava da un oscillatore di riferimento interno, dividendone la frequenza.

Finestra di conteggio di un frequenzimetro e due segnali con lo stesso periodo ma fase diversa
La porta g resta aperta per il tempo T_g. Due segnali con la stessa frequenza ma fronti in posizioni diverse rispetto all’apertura danno 7 e 8 conteggi: è l’errore di più o meno un conteggio.

La porta non è sincronizzata con il segnale, quindi a seconda di dove cadono i fronti rispetto all’apertura si conta un fronte in più o in meno: è l’errore di ±1 conteggio, e l’errore relativo è

    \[ \frac{\Delta f}{f} = \pm\frac{1}{N} = \pm\frac{1}{f\,T_g} \]

Esempio. Con T_g = 1 s, un segnale a 10 MHz si legge con risoluzione di 1 Hz, cioè 10^{-7}; un segnale a 1 kHz con risoluzione di 1 Hz, cioè lo 0,1 %. Il conteggio diretto è eccellente per le frequenze alte e pessimo per quelle basse.

Il periodimetro

Per le frequenze basse si rovescia lo schema: il segnale apre la porta per un periodo T = 1/f, e si contano gli impulsi del clock di riferimento, di frequenza f_c. Il conteggio è N = f_c\,T e l’errore di ±1 conteggio vale ora

    \[ \frac{\Delta T}{T} = \pm\frac{1}{f_c\,T} = \pm\frac{f}{f_c} \]

Questa volta l’errore cresce con la frequenza. Con f_c = 10 MHz, un segnale a 1 kHz si misura con errore 10^{-4}, cento volte meglio del conteggio diretto con porta di 1 s.

Teorema. Il conteggio diretto con porta T_g e il periodimetro con clock f_c hanno lo stesso errore alla frequenza

    \[ f^* = \sqrt{\frac{f_c}{T_g}} \]

Sotto f^* conviene il periodimetro, sopra il conteggio diretto.

Dimostrazione. Si uguagliano gli errori relativi: 1/(f\,T_g) = f/f_c, cioè f^2 = f_c/T_g. Il primo errore decresce con f, il secondo cresce, quindi a sinistra del punto d’incontro è più piccolo il secondo e a destra il primo. ∎

Con f_c = 10 MHz e T_g = 1 s, f^* \approx 3{,}2 kHz, dove entrambi sbagliano di circa 3\cdot 10^{-4}. I contatori reciproci moderni eliminano il problema: aprono la porta in sincronia con un fronte del segnale, contano insieme i periodi del segnale e quelli del clock, e calcolano il rapporto. La risoluzione dipende allora solo dal clock e dal tempo di misura, non dalla frequenza; con l’interpolazione del tempo tra i fronti si arriva a risoluzioni di decine di picosecondi in ogni misura.

L’errore della base dei tempi

Il conteggio è perfetto a meno di un’unità, ma il tempo di porta viene dall’oscillatore interno, che ha un suo errore.

Teorema. Se la frequenza di riferimento ha un errore relativo \varepsilon, la frequenza misurata ha lo stesso errore relativo \varepsilon.

Dimostrazione. Il tempo di porta si ottiene contando M periodi del riferimento: T_g = M/f_{ref}. Se il riferimento vale f_{ref}(1 + \varepsilon), la porta dura T_g/(1 + \varepsilon), si contano N = f\,T_g/(1 + \varepsilon) fronti, e lo strumento, che divide per il T_g nominale, mostra f/(1 + \varepsilon) \approx f(1 - \varepsilon). L’errore relativo ha modulo \varepsilon. Lo stesso vale per il periodimetro, dove f_{ref} compare direttamente. ∎

Quindi la base dei tempi fissa un limite che nessun tempo di porta può superare. Le scelte tipiche sono:

  • quarzo semplice (XO): 10^{-5}, varia molto con la temperatura;
  • quarzo compensato in temperatura (TCXO): 10^{-6}, quello di molti strumenti economici e dei telefoni;
  • quarzo in fornetto termostatato (OCXO): 10^{-8} all’anno, con eccellente stabilità a breve termine;
  • rubidio: 10^{-10} all’anno, un orologio atomico compatto;
  • oscillatore disciplinato dal GPS (GPSDO): un OCXO o un rubidio corretto in continuazione dai segnali dei satelliti, che portano il tempo degli orologi a cesio, con errore medio sotto 10^{-12}.

I laboratori distribuiscono un riferimento comune a 10 MHz a tutti gli strumenti, che hanno un ingresso apposito: così le misure di frequenza di tutto il banco hanno la stessa accuratezza.

Stabilità e varianza di Allan

L’accuratezza dice di quanto la frequenza media si discosta da quella nominale; la stabilità dice quanto la frequenza fluttua nel tempo. Per descriverla non si usa lo scarto tipo ordinario: il rumore degli oscillatori contiene componenti a bassa frequenza (rumore flicker e passeggiata aleatoria) per cui lo scarto tipo continua a crescere con la durata della misura e non converge. Si usa la deviazione di Allan: si misurano le frequenze relative medie \bar{y}_k su intervalli consecutivi di durata \tau, e si calcola

    \[ \sigma_y(\tau) = \sqrt{\frac{1}{2}\left\langle(\bar{y}_{k+1} - \bar{y}_k)^2\right\rangle} \]

cioè si guarda solo la differenza tra misure adiacenti, che non risente delle derive lente. Il grafico di \sigma_y al variare di \tau dice per quale tempo di media un oscillatore è più stabile: un OCXO arriva a 10^{-12} attorno a un secondo, poi peggiora per l’invecchiamento; un maser a idrogeno scende a 10^{-15} in un giorno.

Le misure di intervallo di tempo

Un contatore misura anche il tempo tra due eventi: un fronte su un canale avvia il conteggio, un fronte sull’altro lo ferma. Oltre all’errore di quantizzazione conta l’errore di trigger: il rumore sposta l’istante in cui il segnale attraversa la soglia. Linearizzando il fronte attorno alla soglia, un rumore di valore efficace \sigma_v su un fronte con pendenza dv/dt produce un errore temporale

    \[ \sigma_t = \frac{\sigma_v}{dv/dt} \]

Per questo si fa scattare il trigger nel punto più ripido del fronte e si usano segnali con fronti veloci: un rumore di 1 mV su un fronte da 1 V/ns sposta l’istante di 1 ps, su un fronte da 1 V/µs di 1 ns. È lo stesso meccanismo che produce il jitter nei sistemi digitali e nei convertitori.

Articoli correlati

Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Oldest
Newest Most Voted
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x