Rumore nei ricevitori: figura di rumore, sensibilità e formula di Friis
Schema di un sistema di comunicazione, decibel e dBm, rumore termico a −174 dBm/Hz, figura di rumore e temperatura equivalente, sensibilità, formula di Friis con dimostrazione, margine.
Un sistema di comunicazione porta informazione da una sorgente a una destinazione attraverso un canale che attenua, distorce e aggiunge rumore. Il progetto di un collegamento si riduce spesso a una domanda: il segnale arriva al ricevitore abbastanza più forte del rumore? In questa lezione vediamo lo schema generale di un sistema, le unità in decibel, il rumore dei ricevitori con la figura di rumore e la temperatura equivalente, e la formula di Friis per le catene di stadi.
Lo schema di un sistema
Trasmettitore: la sorgente produce l’informazione, il codificatore di sorgente la comprime, il codificatore di canale aggiunge ridondanza per correggere gli errori, il modulatore la trasforma in un segnale adatto al canale. Il canale (un cavo, una fibra, lo spazio libero) attenua e disturba. Il ricevitore ripercorre la catena al contrario: demodulatore, decodificatore di canale, decodificatore di sorgente. Le lezioni di Teoria dei segnali hanno coperto la modulazione e la rivelazione; qui guardiamo il sistema dal punto di vista dell’ingegnere che lo deve far funzionare.
I decibel
Nelle comunicazioni le grandezze variano di molti ordini di grandezza, e si usano i decibel: un rapporto di potenze 
vale 
dB. Le potenze assolute si esprimono rispetto a un milliwatt: dBm. 0 dBm = 1 mW, 30 dBm = 1 W, −90 dBm = 1 pW. Il vantaggio è che i guadagni e le perdite in cascata si sommano: un trasmettitore da 20 dBm, un’antenna da 2 dBi, 80 dB di attenuazione di spazio libero e un’antenna ricevente da 2 dBi danno 
dBm (lezione sulle antenne di Campi elettromagnetici).
Il rumore di fondo
Qualsiasi resistenza alla temperatura 
produce rumore termico con densità di potenza disponibile 
(lezione sui processi aleatori). A 
K:
![\[ kT_0 = 1{,}38\cdot 10^{-23}\cdot 290 \approx 4\cdot 10^{-21}\ \text{W/Hz} = -174\ \text{dBm/Hz} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a20fb82ff1bf81a4ff68500fa79b2ed0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
È il numero più importante delle radiocomunicazioni. Su una banda 
la potenza di rumore è 
: in 20 MHz (un canale Wi-Fi) fa 
dBm. Nessun ricevitore può fare meglio.
La figura di rumore
Ogni stadio di un ricevitore aggiunge rumore proprio. La figura di rumore 
misura quanto peggiora il rapporto segnale-rumore attraversandolo:
![\[ F = \frac{\mathrm{SNR}_{in}}{\mathrm{SNR}_{out}}\quad (\text{con sorgente a } T_0),\qquad NF = 10\log_{10}F \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cd4e2adac2b10601b2c1c8dc5bcb396e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Un amplificatore ideale ha 
(0 dB). In modo equivalente si usa la temperatura equivalente di rumore 
: il rumore aggiunto dallo stadio è quello che produrrebbe una resistenza a temperatura 
all’ingresso. Un amplificatore con NF = 1 dB ha 
K. La temperatura equivalente si preferisce per i ricevitori a bassissimo rumore, come quelli satellitari e dei radiotelescopi.
La sensibilità. Il segnale minimo che un ricevitore può demodulare è
![\[ P_{min} = -174\ \text{dBm/Hz} + 10\log_{10}B + NF + \mathrm{SNR}_{min} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-174628682c785f54e5859be747c4f781_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Esempio. Banda 20 MHz, NF = 5 dB, SNR minimo 10 dB: 
dBm.
La formula di Friis per il rumore
Teorema. La figura di rumore di stadi in cascata è
![\[ F = F_1 + \frac{F_2 - 1}{G_1} + \frac{F_3 - 1}{G_1G_2} + \dots \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f7cc36521c37cebea428bf4244fe05b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. Si riferisce tutto all’ingresso. Il primo stadio aggiunge un rumore equivalente a 
. Il secondo aggiunge 
al suo ingresso, dove il segnale è già stato amplificato di 
: riportato all’ingresso del primo stadio vale 
. Allo stesso modo il terzo contribuisce 
. Quindi 
, e con si ottiene la formula. ∎
La conseguenza. Il primo stadio conta quasi da solo, purché abbia guadagno sufficiente. Con un amplificatore a basso rumore (LNA) da NF = 1 dB e 20 dB di guadagno, seguito da un mixer da 10 dB con 6 dB di perdita e da un amplificatore da 4 dB, la figura complessiva è circa 1,5 dB. Mettendo il mixer per primo, sarebbe oltre 10 dB: 9 dB di sensibilità persi: nello spazio libero la portata scenderebbe a circa un terzo. Per questo gli LNA si mettono il più vicino possibile all’antenna, e nelle parabole satellitari sono nel convertitore montato proprio sul fuoco.
Anche le perdite passive prima del primo amplificatore (un cavo, un filtro) hanno figura di rumore uguale alla loro attenuazione: 2 dB di cavo prima dell’LNA aggiungono 2 dB alla figura di rumore del sistema.
Il bilancio di collegamento completo
Mettendo insieme la potenza trasmessa, i guadagni d’antenna, le perdite di propagazione e la sensibilità del ricevitore, si ottiene il margine del collegamento: quanti decibel di attenuazione in più (pioggia, muri, evanescenze) si possono tollerare. Un collegamento Wi-Fi con −56 dBm ricevuti e sensibilità di −86 dBm ha 30 dB di margine; un collegamento satellitare lavora spesso con pochi decibel, e i sistemi moderni adattano in continuazione modulazione e codifica al margine disponibile.
