Prestazioni delle modulazioni digitali: banda, Eb/N0 ed errori
Velocità di simbolo e di bit, coseno rialzato e banda occupata, legame tra Eb/N0 e SNR con dimostrazione, probabilità d'errore di BPSK, QPSK e 16-QAM, modulazione e codifica adattative.
Quasi tutte le comunicazioni moderne sono digitali. Progettare un collegamento digitale significa scegliere una modulazione che, nella banda disponibile e con il rapporto segnale-rumore disponibile, trasporti la velocità richiesta con una probabilità d’errore accettabile. In questa lezione mettiamo insieme gli strumenti: velocità di simbolo e di bit, banda occupata con gli impulsi a coseno rialzato, legame tra 
e SNR, probabilità di errore delle modulazioni più usate ed efficienza spettrale.
Simboli e bit
Una modulazione con 
simboli trasporta 
bit per simbolo. La velocità di simbolo 
(in baud) e la velocità di bit 
sono legate da
![\[ R_b = R_s\log_2 M \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6de1bf1891390d08e25396bb70633f35_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
QPSK (
) porta 2 bit per simbolo, 16-QAM 4, 64-QAM 6, 256-QAM 8.
La banda occupata
Per non creare interferenza tra simboli, gli impulsi devono annullarsi negli istanti di campionamento degli altri simboli (criterio di Nyquist, lezione sulla rivelazione di Teoria dei segnali). La famiglia più usata è quella a coseno rialzato, con un fattore di roll-off 
tra 0 e 1 che allarga lo spettro rispetto al minimo teorico ma rende gli impulsi più compatti nel tempo e meno sensibili agli errori di sincronizzazione. La banda occupata dal segnale modulato è
![\[ B = R_s\,(1 + \alpha) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f13cf834615980e33cfcb83a58cdb72_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Esempio. 10 Mbaud con 
: 
MHz. In QPSK sono 20 Mbit/s, un’efficienza spettrale di 1,6 bit/s/Hz.
Eb/N0 e SNR
Il rapporto segnale-rumore misurato nella banda del ricevitore e l’energia per bit rapportata alla densità di rumore sono legati da
![\[ \mathrm{SNR} = \frac{E_b}{N_0}\cdot\frac{R_b}{B} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-53e56a6ed0d3d02a106d1098e1ba7231_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dimostrazione. La potenza del segnale è l’energia per bit per i bit al secondo, 
; quella del rumore è la densità per la banda, 
. Il rapporto è l’enunciato. ∎
Con l’esempio precedente, 
dB corrisponde a un SNR di 
dB. Per confrontare modulazioni a velocità diverse si usa : misura quanta energia serve per bit, indipendentemente dalla velocità.
La probabilità di errore
- BPSK:
(lezione sulla rivelazione). - QPSK: due BPSK indipendenti sulle componenti in fase e in quadratura, ciascuna con metà della potenza e metà dei bit: la probabilità di errore per bit è identica a quella della BPSK, con il doppio dei bit nella stessa banda. Per questo QPSK è la base di tanti sistemi.
- M-QAM: i punti della costellazione sono più vicini a parità di energia media, e serve più . Per 16-QAM, con codifica di Gray,
.
| BPSK, QPSK | 16-QAM |
|---|---|---|
| 6 dB |  |  |
| 10 dB |  |  |
| 14 dB |  |  |
Raddoppiare i bit per simbolo passando da QPSK a 16-QAM costa circa 4 dB; ogni ulteriore raddoppio dell’ordine della costellazione costa sempre di più.
Il compromesso banda-potenza
Con la formula di Shannon (Teoria dei segnali) ogni sistema reale si colloca su un piano efficienza spettrale-:
- con poca banda e molta potenza (collegamenti fissi in ponte radio, cavo, reti cellulari vicino all’antenna) si usano costellazioni dense, 256- e 1024-QAM;
- con molta banda e poca potenza (sonde spaziali, GPS, Internet delle cose a lunga distanza) si usano modulazioni robuste con codici a bassissima velocità, e si lavora a pochi decibel di , vicino al limite di −1,6 dB.
I sistemi moderni fanno entrambe le cose: misurano continuamente la qualità del canale e scelgono modulazione e codice (modulazione e codifica adattative). Il telefono vicino alla stazione base usa 256-QAM con codici leggeri; lo stesso telefono in fondo a un garage scende a QPSK con codici robusti, rallentando ma restando collegato.
