Rivelazione: soglia, filtro adattato e probabilità di errore
Rapporto segnale-rumore, decisione tra due simboli, probabilità di errore, filtro adattato con dimostrazione, BPSK ed Eb/N0, codici correttori, impulsi di Nyquist e diagramma a occhio.
Un ricevitore digitale deve prendere una decisione: osservato un segnale disturbato dal rumore, quale simbolo è stato trasmesso? Sbaglierà ogni tanto, e il progetto consiste nel rendere gli errori il più rari possibile. In questa lezione vediamo come si decide, qual è il filtro che massimizza il rapporto segnale-rumore e come si calcola la probabilità di errore di una trasmissione binaria.
Il rapporto segnale-rumore
La qualità di un segnale ricevuto si misura con il rapporto segnale-rumore, il rapporto tra la potenza del segnale e quella del rumore:
![\[ \mathrm{SNR} = \frac{P_S}{P_N},\qquad \mathrm{SNR}_{dB} = 10\log_{10}\frac{P_S}{P_N} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea753881fdef93c9fb3d83b410609913_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Non conta quanto è forte il segnale in assoluto, ma quanto lo è rispetto al rumore. Amplificare non aiuta: amplifica entrambi, e aggiunge il rumore dell’amplificatore.
Decidere tra due simboli
In una trasmissione binaria antipodale si trasmette 
per il bit 1 e 
per il bit 0. Il ricevitore osserva 
, con 
gaussiano di media zero e deviazione standard 
.
Se i due bit sono equiprobabili, la regola migliore (la decisione a massima verosimiglianza, che deriva dal teorema di Bayes) è scegliere il simbolo la cui densità è più alta nel valore osservato: per due gaussiane uguali e simmetriche, la soglia è a metà, in zero. Si decide 1 se 
, 0 altrimenti.
La probabilità di errore. Si sbaglia quando il rumore spinge il campione oltre la soglia: con trasmesso, quando 
. Per la simmetria della gaussiana,
![\[ P_e = P(n \gt A) = Q\!\left(\frac{A}{\sigma}\right) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-947feaa5bb50ba35a4b38923aac3b059_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
con la funzione 
della lezione sulla probabilità. Dipende solo dal rapporto tra l’ampiezza del segnale e quella del rumore.
Il filtro adattato
Il segnale reale non è un singolo numero ma un impulso 
di durata 
, immerso nel rumore bianco. Prima di campionare e decidere, il ricevitore lo fa passare in un filtro 
. Quale filtro rende massimo l’SNR nell’istante di campionamento ?
Teorema (filtro adattato). Con rumore bianco di densità 
, l’SNR all’istante è massimo per
![\[ h(t) = s(T - t) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6bff13b6a5a06b9ecc017af90efa2538_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e il valore massimo è 
, dove 
è l’energia dell’impulso.
Dimostrazione. All’istante il segnale utile all’uscita è 
, la potenza del rumore è 
(lezione sui processi aleatori). Quindi
![\[ \mathrm{SNR} = \frac{\left(\int h(\tau)\,s(T - \tau)\,d\tau\right)^2}{\frac{N_0}{2}\int h^2(\tau)\,d\tau} \le \frac{\int h^2\,d\tau\int s^2(T - \tau)\,d\tau}{\frac{N_0}{2}\int h^2\,d\tau} = \frac{2E}{N_0} \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f98f57e2d9a421d4e34ac2bf8d1c5e12_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. L’uguaglianza vale quando 
è proporzionale a 
. ∎
Il filtro adattato è la correlazione con l’impulso atteso (lezione sulla correlazione): misura quanto il segnale ricevuto somiglia a quello che si aspetta. Il risultato sorprendente è che l’SNR massimo dipende solo dall’energia dell’impulso, non dalla sua forma: per la rilevazione, impulsi diversi con la stessa energia sono equivalenti.
La probabilità di errore di un bit
Mettendo insieme i due risultati per la trasmissione antipodale (BPSK) con energia per bit 
:
![\[ P_e = Q\!\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f248beee7c47a30ba885d7f57a5d008_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
 |  |
|---|---|
| 4 dB |  |
| 7 dB |  |
| 9,6 dB |  |
La probabilità cala in modo esponenziale: pochi decibel in più fanno passare da un errore ogni cento bit a uno ogni centomila. Il rapporto , l’energia per bit diviso la densità del rumore, è il modo corretto di confrontare sistemi a velocità diverse.
Gli errori in pratica
- Codici correttori. Aggiungendo bit di ridondanza calcolati in modo opportuno, il ricevitore corregge gli errori. I codici moderni (LDPC, polari, turbo) ottengono la stessa probabilità d’errore con diversi decibel in meno, e permettono di avvicinarsi al limite teorico di Shannon.
- Interferenza tra simboli. Se il canale allarga gli impulsi, ogni simbolo “sporca” i vicini. Gli impulsi di Nyquist (come il coseno rialzato) sono progettati per valere zero negli istanti di campionamento degli altri simboli, e permettono di trasmettere
simboli al secondo in una banda 
. Sull’oscilloscopio, sovrapponendo i tratti del segnale ricevuto, si ottiene il diagramma a occhio: più l’occhio è aperto, più la decisione è facile. - Sincronizzazione. Tutto questo presuppone di sapere quando campionare: il ricevitore deve recuperare il ritmo dei simboli dal segnale stesso, ed è uno dei compiti più delicati di un modem.
