Il canale radio a cammini multipli, l’evanescenza e l’OFDM
Dispersione dei ritardi, interferenza tra simboli e banda di coerenza, evanescenza di Rayleigh e diversità, OFDM con FFT e prefisso ciclico, esempio del Wi-Fi, OFDMA e MIMO.
Nello spazio libero il segnale arriva al ricevitore per un solo percorso. In una città, in una casa, in un’auto in movimento arriva invece per molti percorsi, riflesso da edifici, muri e veicoli, con ritardi e attenuazioni diversi. Le copie si sommano e il segnale ricevuto fluttua, si deforma e cambia nel tempo. In questa lezione vediamo il canale a cammini multipli, l’evanescenza, la banda e il tempo di coerenza, e la soluzione adottata da Wi-Fi, 4G, 5G e televisione digitale: l’OFDM.
Il canale a cammini multipli
Il canale si descrive con la sua risposta all’impulso, una somma di copie ritardate:
![\[ h(t) = \sum_k a_k\,\delta(t - \tau_k) \]](https://www.electronics-engineering.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8144c08489e1486acf622f7b038e891e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La differenza tra il ritardo più lungo e il più corto (o un suo valore efficace) è la dispersione dei ritardi: decine di nanosecondi in una stanza, alcuni microsecondi in città, fino a 10-20 µs in zone collinari.
Due conseguenze.
- Nel tempo: se la dispersione dei ritardi è confrontabile con la durata di un simbolo, ogni simbolo si sovrappone ai successivi: interferenza tra simboli. A 10 Msimboli al secondo un simbolo dura 0,1 µs, e un ritardo di 1 µs lo spalma su dieci simboli.
- In frequenza: la risposta
non è piatta. Le copie si sommano in fase a certe frequenze e in opposizione ad altre, con buchi profondi (selettività in frequenza). La banda di coerenza, l’intervallo in cui è circa costante, è dell’ordine dell’inverso della dispersione dei ritardi: con 1 µs, circa 200 kHz.
L’evanescenza
Se il terminale si muove, le fasi delle copie cambiano e la loro somma fluttua nel tempo: è l’evanescenza (fading). Spostandosi di mezza lunghezza d’onda (6 cm a 2,4 GHz) si può passare da un massimo a un buco di 20-30 dB. Senza un percorso diretto dominante, l’ampiezza ricevuta segue la distribuzione di Rayleigh, e la probabilità di errore cala molto più lentamente che nel canale con solo rumore: invece che esponenzialmente, come 
. Per avere 10⁻⁵ servono decine di decibel in più. La velocità delle fluttuazioni dipende dallo spostamento Doppler, 
, e il loro inverso è il tempo di coerenza.
La difesa è la diversità: ricevere lo stesso dato attraverso più “strade” indipendenti, che difficilmente sono tutte in un buco contemporaneamente. Diversità di spazio (più antenne distanziate di almeno mezza lunghezza d’onda), di frequenza (sottoportanti lontane), di tempo (codifica e interallacciamento).
L’OFDM
L’idea: invece di trasmettere un flusso veloce su una portante larga, se ne trasmettono molti lenti su tante sottoportanti strette. Ogni sottoportante è più stretta della banda di coerenza, quindi vede un canale piatto: un semplice guadagno complesso da compensare. I simboli sono lunghi, e la dispersione dei ritardi ne occupa solo una piccola frazione.
L’ortogonalità. Le sottoportanti, distanziate di 
con 
la durata del simbolo, si sovrappongono ma non interferiscono: lo spettro di ciascuna è una sinc con il massimo dove tutte le altre si annullano (figura). Nel tempo: 
per 
, perché la differenza fa un numero intero di oscillazioni complete in .
La realizzazione con la FFT. Generare centinaia di oscillatori sarebbe impossibile; ma la somma di sottoportanti modulate, campionata, è proprio una DFT inversa dei simboli. Il trasmettitore calcola una IFFT, il ricevitore una FFT (lezione di Calcolo numerico).
Il prefisso ciclico. Prima di ogni simbolo si ripete la sua parte finale, per una durata maggiore della dispersione dei ritardi. Le copie ritardate del simbolo precedente cadono tutte nel prefisso, che il ricevitore scarta; e dentro il simbolo la convoluzione con il canale diventa una convoluzione circolare, che la DFT trasforma esattamente in un prodotto. Ogni sottoportante 
arriva quindi moltiplicata per 
: si equalizza con una sola divisione per sottoportante, invece che con filtri lunghi e complessi.
Esempio: il Wi-Fi. In 20 MHz, una FFT da 64 punti: sottoportanti distanziate di 
kHz, simbolo di 3,2 µs più 0,8 µs di prefisso ciclico, che basta per i percorsi di una casa o di un ufficio. Le versioni recenti usano FFT più grandi e sottoportanti più fitte.
Il prezzo. Il segnale OFDM è la somma di molte sinusoidi, e ogni tanto si sommano in fase: il rapporto tra potenza di picco e potenza media è alto, e l’amplificatore di potenza deve lavorare lontano dalla saturazione, con rendimento più basso. Inoltre l’ortogonalità è sensibile agli errori di frequenza e allo spostamento Doppler, che vanno corretti con precisione.
L’OFDMA e il MIMO
Nell’OFDMA (4G, 5G, Wi-Fi 6) gruppi diversi di sottoportanti sono assegnati a utenti diversi, ciascuno sulle frequenze in cui il suo canale è migliore. Con più antenne in trasmissione e ricezione (MIMO), il canale tra ogni coppia di antenne è diverso, e su ogni sottoportante si possono trasmettere più flussi indipendenti nello stesso tempo e nella stessa banda: con 4×4 antenne, fino a quattro volte la capacità. È ciò che ha permesso il salto di velocità dei sistemi recenti senza bisogno di molta più banda.
